洛谷 P1736 创意吃鱼法 Label:dp || 前缀和
题目描述
回到家中的猫猫把三桶鱼全部转移到了她那长方形大池子中，然后开始思考：到底要以何种方法吃鱼呢（猫猫就是这么可爱，吃鱼也要想好吃法 ^_*）。她发现，把大池子视为01矩阵（0表示对应位置无鱼，1表示对应位置有鱼）有助于决定吃鱼策略。
在代表池子的01矩阵中，有很多的正方形子矩阵，如果某个正方形子矩阵的某条对角线上都有鱼，且此正方形子矩阵的其他地方无鱼，猫猫就可以从这个正方形子矩阵“对角线的一端”下口，只一吸，就能把对角线上的那一队鲜鱼吸入口中。
猫猫是个贪婪的家伙，所以她想一口吃掉尽量多的鱼。请你帮猫猫计算一下，她一口下去，最多可以吃掉多少条鱼？
输入输出格式
输入格式：
有多组输入数据，每组数据：
第一行有两个整数n和m（n,m≥1），描述池塘规模。接下来的n行，每行有m个数字（非“0”即“1”）。每两个数字之间用空格隔开。
对于30%的数据，有n,m≤100
对于60%的数据，有n,m≤1000
对于100%的数据，有n,m≤2500
输出格式：
只有一个整数——猫猫一口下去可以吃掉的鱼的数量，占一行，行末有回车。
输入输出样例
4 6 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
3
说明
右上角的
1 0 0 0 1 0 0 0 1
解法一
这道题虽然是动态规划，但也有非动态规划的做法，看到题解里没有这种做法，就给大家发一下（虽然慢了一点，但比较容易理解）：用前缀和、差分，首先对矩阵求前缀和，之后从（0,0）向（n，m）扫描，每扫描到一个点，就向这个点的左上方（i-k,j-k，1<=k<=n）
扫描，如果扫描到0或从（i-k，j-k）到（i，j）这个矩阵的差分（即其中鱼的个数）大于k+1（矩阵对角线长度）则终止扫描，此时k就是从点（i，j）向左上方能吃到的鱼的数量，扫描完之后将整个矩阵左右翻转再进行一次扫描，两次扫描扫到的最大值就是结果。
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c)) 6 using namespace std; 7 int ans,a[2505][2505],b[2505][2505],sum[2505][2505],N,M,x,y; 8 void zheng(){ 9 memset(sum,0,sizeof(sum)); 10 for(int i=1;i<=N;i++){ 11 for(int j=1;j<=M;j++) 12 sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[i][j]; 13 for(int j=1;j<=M;j++) 14 sum[i][j]+=sum[i-1][j]; 15 } 16 17 for(int i=1;i<=N;i++) 18 for(int j=1;j<=M;j++) 19 if(a[i][j]==1){ 20 int k=1; 21 while((k<min(i,j))&&(a[i-k][j-k]==1)
&&(sum[i][j]-sum[i-k-1][j]-sum[i][j-k-1]+sum[i-k-1][j-k-1])==(k+1)){ 22 // printf("i=%d j=%d k=%d\n",i,j,k); 23 k++; 24 } 25 26 ans=max(ans,k); 27 } 28 29 } 30 void change(){ 31 for(int i=1;i<=N;i++) 32 for(int j=1;j<=(M+1)/2;j++) 33 swap(a[i][j],a[i][M-j+1]); 34 return; 35 } 36 int main(){ 37 // freopen("01.txt","r",stdin); 38 scanf("%d%d",&N,&M); 39 for(int i=1;i<=N;i++) 40 for(int j=1;j<=M;j++) 41 scanf("%d",&a[i][j]); 42 43 44 zheng(); 45 change(); 46 /* for(int i=1;i<=N;i++){ 47 for(int j=1;j<=M;j++) 48 printf("%-3d",sum[i][j]); 49 puts(""); 50 }*/ 51 52 zheng(); 53 54 printf("%d\n",ans); 55 return 0; 56 }
解法二
动态规划1，f[i][j]表示以(i,j)为顶点的最大子矩阵中能吃到的鱼的条数。
f[i][j]可以从f[i-1][j-1]或f[i-1][j+1]转移而来，取其中最大值。
每次转移需要横向和纵向检查0的个数，取两者最小值k即得到了最大子矩阵中鱼的个数。
C代码：
1 #include<stdio.h> 2 int n,m,i,j,k,k1,k2,max,temp,f[2501][2501]; 3 int main(void) 4 { 5 while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) 6 { 7 max=0;//答案 8 for(i=1;i<=n;i++) 9 { 10 for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&f[i][j]);//先输入一行，因为下面要横向检查0的个数。 11 for(j=1;j<=m;j++) 12 { 13 if(f[i][j]==1) 14 { 15 temp=f[i-1][j-1];//检查左上方 16 if(temp>=1 && temp+1>f[i][j]) 17 { 18 for(k1=1;k1<=temp;k1++)//横向往左检查0的个数k1，最多为temp个 19 if(f[i][j-k1]>=1) break; 20 for(k2=1;k2<=temp;k2++)//纵向往上检查k2…… 21 if(f[i-k2][j]>=1) break; 22 f[i][j]=k1<k2?k1:k2; //取k1、k2较小的那个，就是满足条件的最大子矩阵。 23 } 24 temp=f[i-1][j+1];//检查右上方 25 if(temp>=1 && temp+1>f[i][j]) 26 { 27 for(k1=1;k1<=temp;k1++) 28 if(f[i][j+k1]>=1) break;//唯一不同是这里的j+k1而不是j-k1,因为是往右检查 29 for(k2=1;k2<=temp;k2++) 30 if(f[i-k2][j]>=1) break; 31 f[i][j]=k1<k2?k1:k2; 32 } 33 } 34 if(f[i][j]>max) max=f[i][j]; 35 } 36 } 37 printf("%d\n",max); 38 } 39 return 0; 40 }
动态规划2:
暴力dp。
首先分类，fl[i,j]表示由左上开始的对角线到（i，j）为终点的最大长度，fr[i,j]为从右上开始的对角线到(i,j)为终点的最大长度。
可以观察到fl[i,j]可以从f[i-1,j-1]转移而来，fr[i,j]可由fr[i-1,j+1]转移而来，当转移完毕后，搜索以当前对角线长为边长正方形上该点的临边有没有鱼，如果有鱼，那么鱼到该点的距离为以该点为终点的对角线长。
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 int a[2600][2600],fl[2600][2600],fr[2600][2600]; 6 int main(){ 7 int n,m; 8 cin>>n>>m; 9 for(int i = 1;i<=n;i++) 10 for(int j = 1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]); 11 memset(fl,0,sizeof(fl)); 12 memset(fr,0,sizeof(fr)); 13 for(int i = 1;i<=n;i++)//搜索fl 14 for(int j = 1;j<=m;j++) 15 if(a[i][j]){ 16 fl[i][j] = fl[i-1][j-1]+1; 17 for(int k = 1;k<fl[i][j];k++)if(a[i-k][j]||a[i][j-k]){//验证当前解是否可行 18 fl[i][j] = k; 19 break; 20 } 21 } 22 for(int i = 1;i<=n;i++)//搜索fr 23 for(int j = m;j;j--) 24 if(a[i][j]){ 25 fr[i][j] = fr[i-1][j+1]+1; 26 for(int k = 1;k<fr[i][j];k++)if(a[i-k][j]||a[i][j+k]){//验证当前解是否可行 27 fr[i][j] = k; 28 break; 29 } 30 } 31 int ans = 0; 32 for(int i = 1;i<=n;i++) 33 for(int j = 1;j<=m;j++)ans = max(ans,max(fl[i][j],fr[i][j])); 34 cout<<ans<<endl; 35 return 0; 36 }
