莫比乌斯反演

(连我都不知道的)预备知识：

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n $

$\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\cdot i=\frac{n\cdot\varphi(n)+[n=1]}{2}$

$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$

$\sum_{d|n}^{\mu(d)}=[n=1]$

 最后一个性质的证明(我也就记得这个了)

设$n$有$k$个质因子($k \neq 0$ 即 $n \neq 1$)

$\quad \sum_{d|n}\mu(d)$

$=\sum_{i=1}^{k}\dbinom{k}{i}\cdot (-1)^i$

$=(1-1)^k$

$=0$

当且仅当$n=1$时上式为$1$

狄利克雷卷积：

对于数论函数$f$和$g$,它们的狄利克雷卷积为$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

狄利克雷卷积满足交换律,结合律,加法时满足分配律。

$e(n)=[n=1]=(\mu*I)(n)$

$id(n)=n=(\varphi*I)(n)$

$d(n)=\sum[d|n]=(I*I)(n)$

$\sigma(n)=\sum_{d|n}d=(id*I)(n)$

$\varphi(n)=(\mu*id)(n)$

$f(n)=(e*f)(n)$

莫比乌斯反演定理：

$f(n)=\sum_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

证明：

方法一：

$\quad \sum_{d|n}mu(d)f(\frac{n}{d})$

$=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{d'|\frac{n}{d}}g(d')$

$=\sum_{d'|n}g(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)$

$=g(n)$

方法二：

$g(n)=(f*\mu)(n)=(g*I*\mu)(n)=(g*e)(n)=g(n)$

证毕。