倍增与快速幂，快速乘
倍增与快速幂，快速乘
一.快速幂
- 快速幂分为递归快速幂和迭代快速幂
- 目的是求：a^n，常与大素数的取模运算结合
- 时间复杂度：O(log n)
递归快速幂：
迭代方程：
//递归快速幂
int qpow(int a, int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else if (n % 2 == 1)
return qpow(a, n - 1) * a;
else
{
int temp = qpow(a, n / 2);
return temp * temp;
}
}
加上取模运算：
//递归快速幂（对大素数取模）
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;
ll qpow(ll a, ll n)
{
if (n == 0)
return 1;
else if (n % 2 == 1)
return qpow(a, n - 1) * a % MOD;
else
{
ll temp = qpow(a, n / 2) % MOD;
return temp * temp % MOD;
}
}
注意：temp相当重要，无temp时间复杂度会变成o(n)
迭代快速幂：
想明白原理的话，这里强烈推荐观看结尾第一个链接的博客，十分清晰。
//非递归快速幂
int qpow(int a, int n){
int ans = 1;
while(n){
if(n&1) //如果n的当前末位为1
ans *= a; //ans乘上当前的a
a *= a; //a自乘
n >>= 1; //n往右移一位
}
return ans;
}
泛型推广：
//泛型的非递归快速幂
template <typename T>
T qpow(T a, ll n)
{
T ans = 1; // 赋值为乘法单位元，可能要根据构造函数修改
while (n)
{
if (n & 1)
ans = ans * a; // 这里就最好别用自乘了，不然重载完*还要重载*=，有点麻烦。
n >>= 1;
a = a * a;
}
return ans;
}
建议记忆此模板算法！
快速乘仅需将上述乘法修改为加法即可。
参考博客：
