数的划分

描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5； 1，5，1； 5，1，1；

问有多少种不同的分法。 输出：一个整数，即不同的分法。

输入

两个整数n，k (6 < n <= 200，2 <= k <= 6)，中间用单个空格隔开。

输出

一个整数，即不同的分法。

样例输入

7 3

样例输出

4

提示

四种分法为：1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3。

【题目 http://noi.openjudge.cn/ch0206/8787/】

分析

显然是个动规

方程：f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i,j-i]

这题可以看成把N个苹果放在K个盘子里，每个盘子都不能为空（即每个盘子里至少有一个苹果），求方案数

设f[i,j]表示j个苹果放在i个盘子的方案数

初始化很好理解，不管把几个苹果放在一个盘子里都只有一种放法，所以f[1,i]:=1;

好啦，初始化解释完就不管了

现在来看f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i,j-i];

假设现在盘子全为空，苹果都不在盘子里，我们开始放苹果吧！

（1）：先在一个盘子里放一个苹果，就剩下j-1个苹果放在i-1个盘子里，有f[i-1,j-1]种放法
（2）：再把盘子里的苹果全都拿出来（让盘子全为空），然后再开始放。 这次先在一个盘子里放两个苹果，就剩下j-2个苹果放在i-1个盘子里，有#种放法（先不管‘#’）是多少

（3）：再把盘子里的苹果全都拿出来（让盘子全为空），然后再开始放。 这次先在一个盘子里放三个苹果，就剩下j-3个苹果放在i-1个盘子里，有#种放法（不管‘#’）是多少

……

以此类推，直到在一个盘子里放j-i+1个苹果，然后把这些方案数加起来，存在f[i,j]。

先在一个盘子里放一个苹果的方案数已经知道了，就先让f[i,j]=f[i-1,j-1]+%&#@，先不管%&#@是什么，回顾一下前面，从2开始就不好求了，因为你不知道当你先在一个盘子里放M（M>1）个苹果后求出来的方案有没有和前面重复。

那就换种思路来求除了（1）以外的方案数吧

看看题目的约束条件，即每个盘子里至少有一个苹果，为了满足条件，就让每个盘子里都有一个苹果，然后剩下j-i个苹果放在i个盘子里（有个盘子只有一个苹果的情况在（1）已经考虑过了，所以现在每个盘子至少要有两个苹果），而j-i个苹果放在i个盘子里的方案数已经算出来了（f[i,j-i]），每个方案都保证往当前的每个盘子中放至少一个苹果，当前每个盘子里已经都有一个苹果，所以这样一来每个盘子至少有两个苹果，（2）就包括在里面了。以此类推，（3），（4）……也都包括在(如果可能)f[i,j-i]里。所以加上f[i,j-i]就好了。

pascal代码

program sdfg;
var
  n,k,i,j:longint;
  f:array[0..200,0..200] of longint;
begin
  readln(n,k);
  for i:=1 to n do
    f[i,1]:=1;
  for i:=1 to n do
    for j:=2 to i do
      f[i,j]:=f[i-1,j-1]+f[i-j,j];
  writeln(f[n,k]);
end.

c++代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <ctime>
#include <cmath>
int f[210][210];
int main()
{
//    freopen("numf.in","r",stdin);
//    freopen("numf.out","w",stdout);
    int n,k,i,j;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (i=1;i<=n;i++)
      f[i][1]=1;
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=2;j<=i;j++)  
        f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
    printf("%d",f[n][k]);
    return 0;    
}

这是我第一次写题解，写的不好多多包涵

【这也是我的第一篇博客】