【NOIP2018Day1T2】【洛谷P5020】货币系统
问题描述
在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。
两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表示出，要么不能被其中任何一个表示出。
现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a)等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。
输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。
输出格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。
样例输入
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
样例输出
2
5
提示
在第一组数据中，货币系统 (2,[3,10]) 和给出的货币系统 (n,a) 等价，并可以验证不存在 m<2 的等价的货币系统，因此答案为 2。 在第二组数据中，可以验证不存在 m<n 的等价的货币系统，因此答案为 5。
数据范围
题解
研究一下样例，发现新货币系统是旧货币系统的子集。于是大胆猜想：新货币系统一定是旧货币系统删掉几种面额的货币，并且被删掉的面额可以被没被删掉的面额表示出来。
（遵循大胆猜想不用证明原则的大佬自动跳过这段）
证明：反证法
反正就是这样
证明完毕
如果以上结论不成立，无非存在以下两种情况：
1、新货币系统中存在旧货币系统所没有的面额，记为a[i]，a[i]不能被旧货币系统表示出来
2、新货币系统中存在旧货币系统所没有的面额，记为a[j], a[j]能够被旧货币系统表示出来
对于第一种情况，显然新货币系统可以表示出旧货币系统所表示不出的面额，因为a[i]本身就是一种旧货币系统所表示不出的面额，于是这种情况不成立。
对于第二种情况，显然a[j]是多余的，因为a[j]能够被表示出来，所以需要用到a[j]时可以用表示出a[j]的这些面额代替，所以a[j]可以删掉，于是这种情况也不成立。
所以，上述结论：新货币系统一定是旧货币系统删掉几种面额的货币，并且被删掉的面额可以被没被删掉的面额表示出来成立。
那么我们只需要求给定货币系统最多可以删掉多少种面额。
设f[i]表示面额为i能否被表示出来，则
f[i]=f[i]|f[j](1<=j<k,a[k]<i)
在动规循环时顺便计算f[i]==false && i∈a的个数，用总数减去f[i]==false && i∈a的个数，就是答案
时间复杂度 5*107
1 #include <algorithm> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 int T,n,m,a[105]; 5 bool f[25005]; 6 int main() 7 { 8 9 int i,j,k; 10 scanf("%d",&T); 11 while (T--) 12 { 13 scanf("%d",&n); 14 for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 15 m=n; 16 std::sort(a+1,a+n+1); 17 memset(f,0,sizeof(f)); 18 f[a[1]]=1; k=1; 19 for (i=a[1]+1;i<=a[n];i++) 20 { 21 for (j=1;j<=k && !f[i];j++) 22 f[i]=f[i]|f[i-a[j]]; 23 if (i==a[k+1]) 24 { 25 k++; 26 if (f[i]) m--; 27 else f[i]=1; 28 } 29 } 30 printf("%d\n",m); 31 } 32 return 0; 33 }
