判断一个数是不是质数的方法

如题：204. 计数质数

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
示例 2：

输入：n = 0
输出：0
示例 3：

输入：n = 1
输出：0

提示：

0 <= n <= 5 * 106

 

方法一：

暴力枚举：

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            ans += isPrime(i) ? 1 : 0;
        }
        return ans;
    }

    public boolean isPrime(int x) {
        for (int i = 2; i * i <= x; ++i) {
            if (x % i == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

 

 

 

方法二：

埃氏筛：

枚举没有考虑到数与数的关联性，因此难以再继续优化时间复杂度。接下来我们介绍一个常见的算法，该算法由希腊数学家厄拉多塞提出，称为厄拉多塞筛法，简称埃氏筛。

我们考虑这样一个事实：如果 x 是质数，那么大于 x 的 x 的倍数 2x,3x,… 一定不是质数，因此我们可以从这里入手。

我们设 isPrime[i] 表示数 i 是不是质数，如果是质数则为 1，否则为 0。从小到大遍历每个数，如果这个数为质数，则将其所有的倍数都标记为合数（除了该质数本身），即 0，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。

这种方法的正确性是比较显然的：这种方法显然不会将质数标记成合数；另一方面，当从小到大遍历到数 x 时，倘若它是合数，则它一定是某个小于 x 的质数 y 的整数倍，故根据此方法的步骤，我们在遍历到 y 时，就一定会在此时将 x 标记为 isPrime[x]=0。因此，这种方法也不会将合数标记为质数。

当然这里还可以继续优化，对于一个质数 x，如果按上文说的我们从 2x 开始标记其实是冗余的，应该直接从 x⋅x ,开始标记， x⋅(x+1), x⋅(x+2)因为 2x,3x,… 这些数一定在 x 之前就被其他数的倍数标记过了，例如 2 的所有倍数，3 的所有倍数等。

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        int[] isPrime = new int[n];
        Arrays.fill(isPrime, 1);
        int res = 0;
        for(int i=2; i<n; i++){
            if(isPrime[i]==1){
                res+=1;
                if((long)i*i < n){
                    for (int j = i*i;  j<n; j+=i){
                        isPrime[j] = 0;
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

 

 

 

 

方法三：线性筛

 

 

 

 

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int[] isPrime = new int[n];
        Arrays.fill(isPrime, 1);
        for (int i=2; i<n; i++){
            if(isPrime[i] == 1){
                list.add(i);
            }
            for (int j=0; j<list.size() && i*list.get(j)<n; j++){
                isPrime[i*list.get(j)] = 0;
                if(i%list.get(j) == 0){
                    break;
                }
            }
        }
        return list.size();
    }
}