二分查找及其应用

二分查找

附一个关于二分查找边界选择的解释：

二分查找：为什么左右不对称？只比较mid与right的原因

 

二分查找

基础的二分查找，

• 时间复杂度：O(logN)。
• 空间复杂度：O(1)。

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int mid, left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            if (target < nums[mid]) right = mid - 1;
            else left = mid + 1;
        }
        return -1;
    }
};

 

搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。假设数组中无重复元素。

• 时间复杂度：O(logN)。
• 空间复杂度：O(1)。

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int left = 0, right = n - 1, ans = n;
        while (left <= right) {
            int mid = ((right - left) >> 1) + left;
            if (target <= nums[mid]) {
                ans = mid;
                right = mid - 1;
            }
            else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

 

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

• 时间复杂度：O(logN)。
• 空间复杂度：O(1)。

class Solution {
public:
    int n;
    int leftwer_bound(vector<int>& nums, int target)
    {
        //[left,right)前闭后开区间
        int left = 0, right = n;
        while (left<right)
        {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (target <= nums[mid])
                right = mid;
            else 
                left = mid + 1;
        }
        return left;
    }

    int upper_bound(vector<int>& nums, int target)
    {
        //[left,right)前闭后开区间
        int left = 0, right = n;
        while (left<right)
        {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (target<nums[mid])
                right = mid;
            else 
                left = mid + 1;
        }
        return left;
    }

    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        n = nums.size();
        int left = leftwer_bound(nums, target);
        int right = upper_bound(nums, target);
        if (left == right)
            return vector<int>{-1, -1};
        return vector<int>{left, right - 1};
    }
};

 

搜索旋转排序数组

在常规二分搜索的时候查看当前 mid 为分割位置分割出来的两个部分 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们该如何改变二分搜索的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出 target 在不在这个部分

• 时间复杂度： O(logn)，其中nums数组的大小。整个算法时间复杂度即为二分搜索的时间复杂度O(logn)。
• 空间复杂度： O(1) 。我们只需要常数级别的空间存放变量。

 

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int n = (int)nums.size();
        if (!n) return -1;
        if (n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            if (nums[0] <= nums[mid]) {
                if (nums[0] <= target && target < nums[mid]) {
                    r = mid - 1;
                }
                else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            else {
                if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) {
                    l = mid + 1;
                }
                else {
                    r = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
};

 

 

搜索旋转排序数组 II

和上一题一样，不过此时nums可能包含重复元素。

• 时间复杂度：最坏情况o(n)，最好情况o(logn)
• 时间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    bool search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            while (left != right && nums[left] == nums[right]) 
                right--; //无重复值的解法中添加这行
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] == target) 
                return true;
            else if (nums[mid]>target) {
                if (nums[mid]>nums[right] && target<nums[left]) 
                    left = mid + 1;
                else 
                    right = mid - 1;
            }
            else {
                if (nums[mid]<nums[left] && target>nums[right]) 
                    right = mid - 1;
                else 
                    left = mid + 1;
            }
        }
        return false;
    }
};

 

寻找旋转排序数组中的最小值

假设数组中不存在重复元素。

• 时间复杂度：O(logN)。
• 空间复杂度：O(1)。

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] > nums[right]) {
                left = mid + 1;
            }
            else {
                right = mid;
            }
        }
        return nums[left];
    }
};

 

寻找旋转排序数组中的最小值 II

nums可能有重复值

• 时间复杂度：平均时间复杂度为 O(logn)，其中 n 是数组 nums 的长度。如果数组是随机生成的，那么数组中包含相同元素的概率很低，在二分查找的过程中，大部分情况都会忽略一半的区间。而在最坏情况下，如果数组中的元素完全相同，那么 while 循环就需要执行 n 次，每次忽略区间的右端点，时间复杂度为O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            }
            else if (nums[pivot] > nums[high]) {
                low = pivot + 1;
            }
            else {
                high -= 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
};

 

寻找重复数

时间复杂度：O(nlogn)，其中 n 为 nums 数组的长度。二分查找最多需要二分 O(logn) 次，每次判断的时候需O(n) 遍历 nums 数组求解小于等于 mid 的数的个数，因此总时间复杂度为 O(nlogn)。
空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int l = 1, r = n - 1, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int cnt = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                cnt += nums[i] <= mid;
            }
            if (cnt <= mid) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
                ans = mid;
            }
        }
        return ans;
    }
};