[浅讲]二维前缀和

前缀和，为什么要用前缀和，目的是更方便快捷的使用。我们定义前缀和数组为\(sum\)，当然一维的前缀和很简单\(sum_i\)表示在第i个位置（包括的i个位置）前的所有权值的和，即\(\sum_{j=1}^{i}a_j\)

\[\begin{aligned} sum_i=sum_{i-1}+f_i \end{aligned} \]

那么二维前缀和怎么计算呢，我们画个图；

我们定义\(sum_{i,j}\)管辖的区域是①+②+③+④，\(sum_{i-1,j}\)是①+③，\(sum_{i,j-1}\)是①+②，\(sum_{i-1,j-1}\)是①。那么我们思考一下，\(sum_{i,j}\)怎么由\(sum_{i-1,j}\)，\(sum_{i,j-1}\)，\(sum_{i-1,j-1}\)以及这个点的权值（图中的④也就是\(f_{i,j}\)）转换过来呢。我们列出式子：

\[\begin{aligned} sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+f_{i,j} \end{aligned} \]

为什么？我们看图，因为\(sum_{i-1,j}\)是①+③，\(sum_{i,j-1}\)是①+②，两个区域相加，是不是重复加了①这个区域所以减掉①，也就是减掉\(sum_{i-1,j-1}\)。没问题吧，然后我们现在拥有了①，②，③三个区域还差一个④，最后加上\(f_{i,j}\)就行了，这样我们就做到了初始化二维前缀和数组。
那么我们怎么计算呢？

假如我们要求④这个区域的值，也就是像之前一样推演一下就好了

\[\begin{aligned} sum_{x2,y2}-sum_{x1-1,y2}+sum_{x2,y1-1}+sum_{x1-1,y1-1} \end{aligned} \]

给道例题
领地选择

题目描述

作为在虚拟世界里统帅千军万马的领袖，小\(Z\) 认为天时、地利、人和三者是缺一不可的，所以，谨慎地选择首都的位置对于小 Z 来说是非常重要的。

首都被认为是一个占地 \(C\times C\) 的正方形。小 Z 希望你寻找到一个合适的位置，使得首都所占领的位置的土地价值和最高。

输入格式

第一行三个整数 \(N,M,C\)，表示地图的宽和长以及首都的边长。

接下来 \(N\) 行每行 \(M\) 个整数，表示了地图上每个地块的价值。价值可能为负数。

输出格式

一行两个整数 \(X,Y\)，表示首都左上角的坐标。

输入 #1

3 4 2
1 2 3 1
-1 9 0 2
2 0 1 1

输出 #1

1 2

说明/提示

对于 \(\%60\) 的数据，\(N,M\le 50\)。

对于 \(\%90\) 的数据，\(N,M\le 300\)。

对于 \(\%100\) 的数据，\(1\le N,M\le 10^3，1\le C\le \min(N,M)\)。

一道模板题吧，就注意下输出的是左上角的坐标，画下图就行了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int n,m,c;
int sum[maxn][maxn];
int ansx,ansy,maxx=-0x7fffffff;
int main(){
	cin>>n>>m>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1,x;j<=m;j++){
	 	cin>>x;
	 	sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+x;
	 }
	for(int i=c;i<=n;i++)
	 for(int j=c;j<=m;j++){
	 	if(sum[i][j]+sum[i-c][j-c]-sum[i-c][j]-sum[i][j-c]>maxx){
	 		maxx=sum[i][j]+sum[i-c][j-c]-sum[i-c][j]-sum[i][j-c];
	 		ansx=i,ansy=j;
		 }
	 }
	cout<<ansx-c+1<<" "<<ansy-c+1<<endl;
	return 0;
}