【莫比乌斯反演】专题总结

先定义一下，数论函数指的定义域是在正整数域下f(1)不等于0的函数。

来自Syu Gau

http://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

有以下几个概念

1，卷积：
设 $f,g$ 是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算 $f\ast g$ 定义为
$(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}$
可以证明，卷积运算满足：
1）交换律： $f\ast g=g\ast f$
由定义显然。

2）结合律： $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$
考察两边作用在 $n$ 上，左边是
$\begin{align} ((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\ &= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}$
右边是
$\begin{align} (f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\ &= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}$
故两边相等。

3）存在单位元 $\iota$ 使得 $\iota \ast f=f$
我们需要
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)$
故不难猜到 $\iota$ 应该定义为 $\iota(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq1 \end{cases}$
事实上，直接验证可得
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)$

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元 $u$
上面的 $\iota$ 是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法 $(fg)(n):=f(n)g(n)$ 意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作 $u$ 。

3，莫比乌斯函数 $\mu$
$u$ 在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说 $\mu$ 是满足
$u\ast\mu=\iota$
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
$\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)$ …………(*)

通常，莫比乌斯函数 $\mu$ 定义为
$\mu(1)=1$ ；
$\mu(n)=(-1)^k$ ，如果 $n$ 能写成 $k$ 个不同素数之积；
$\mu(n)=0$ ，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于 $n=1$ ，(*)式成立；
对于 $n\neq1$ ，用算术基本定理把 $n$ 写成
$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$
于是
$\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align}$

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？
$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$
当且仅当
$g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{d}{n}\right)f(d)$
换而言之，
$f = g\ast u \Leftrightarrow g = f\ast\mu$

证明：
$\begin{align} f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g \end{align}$
反之
$\begin{align} g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\ \Rightarrow& g\ast u=f \end{align}$