【莫比乌斯反演】专题总结

先定义一下，数论函数指的定义域是在正整数域下f(1)不等于0的函数。

来自Syu Gau

http://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

有以下几个概念

1，卷积：
设f,g是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算f\ast g定义为
(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}
可以证明，卷积运算满足：
1）交换律：f\ast g=g\ast f
由定义显然。

2）结合律：(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)
考察两边作用在n上，左边是
\begin{align} ((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\ &= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}
右边是
\begin{align} (f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\ &= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}
故两边相等。

3）存在单位元\iota 使得\iota \ast f=f
我们需要
(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)
故不难猜到\iota 应该定义为\iota(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq1 \end{cases}
事实上，直接验证可得
(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。


2，乘法单位元u
上面的\iota 是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法(fg)(n):=f(n)g(n)意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作u。


3，莫比乌斯函数\mu
u在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说\mu 是满足
u\ast\mu=\iota
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)…………(*)

通常，莫比乌斯函数\mu定义为
\mu(1)=1；
\mu(n)=(-1)^k，如果n能写成k个不同素数之积；
\mu(n)=0，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于n=1，(*)式成立；
对于n\neq1，用算术基本定理把n写成
n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}
于是
\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align}



现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？
f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)
当且仅当
g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{d}{n}\right)f(d)
换而言之，
f = g\ast u \Leftrightarrow g = f\ast\mu

证明：
\begin{align} f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g \end{align}
反之
\begin{align} g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\ \Rightarrow& g\ast u=f \end{align}

而关于gcd,我们假设
g(i)代表在i=gcd(x,y)下
f(i)代表在i|gcd(x,y)下
有
f(n)=Σg(d) d|n
g(n)=Σf(d)*u(n/d) d|n
这本质上是一种容斥~
给个模板
ps：莫比乌斯函数与1的卷积是单位卷积。
posted @ 2016-06-20 14:12  GFY  阅读(1038)  评论(0)  编辑  收藏  举报