BZOJ 1911 (特别行动队)

题意：给定一个数列，将其分成若干段，若某段的和为x则这段的价值为a*x*x+b*x+c。求一种分法使得总价值最大

f[i]为到第i个时的最大价值，

f[i]=max(f[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c

若j1<j2且j2更优

f[j1]+a*sum[i]^2+a*sum[j1]^2-2*a*sum[i]*sum[j1]+b*sum[i]-b*sum[j1]+c<f[j2]+a*sum[i]^2+a*sum[j2]^2-2*a*sum[i]*sum[j2]+b*sum[i]-b*sum[j2]+c

最终化简得到

f[j1]-f[j2]+a*sum[j1]^2-a*sum[j2]^2-b*sum[j1]+b*sum[j2]<2*a*sum[i]*(sum[j1]-sum[j2])

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
int n;
long long sum[1000005],a,b,c,x,q[1000005],f[1000005];
long long sqr(long long x){
    return x*x;
}
double slope(int k,int j){
    return double((f[j]-f[k])+a*sqr(sum[j])-a*sqr(sum[k])+b*(sum[k]-sum[j]))/(2*a*(sum[j]-sum[k]));
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    sum[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    int l=0,r=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while (l<r&&slope(q[l],q[l+1])<sum[i]) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+a*(sum[i]-sum[t])*(sum[i]-sum[t])+b*(sum[i]-sum[t])+c;
        while (l<r&&slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}