费马数学习总结
费马数,就是形如:2^(2^n)+1的数字,据费马说,f(1,2,3,4,5)都是质数,然而欧拉算出f(5)可以有1和自己以外的因子,也就是f(5)是合数,当年费马猜想:费马数全是质数。然而随着科技发展,用计算机可以运算得到:f(5)以及以后的费马数,都是合数,甚至有人猜想:5和以后的费马数全是合数。
然而早已有人证明:费马数的因数必然是2n+2*k+1形式!
费马数的性质:
(1)费马数与几何
定理:一个正规n边行可用尺规来画出当且仅当n是一个2的非负次幂与非负个不同费马素数的乘积
(不知道有什么用233)
(2)任意两个不同的费马数互质
证明:
设m>n,
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D234/sign=0f5a5108db33c895a27e9f78e5127397/b21c8701a18b87d627018d80050828381e30fde9.jpg)
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D213/sign=743096ad58afa40f38c6c9dc9865038c/1e30e924b899a9014bc87aa91f950a7b0308f5ab.jpg)
=
=
=……
=
,所以 整除
。
根据辗转相除的原理, ,所以任意两个费马数都互质。
(3)
费马数满足以下的递回关系:
![](http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D134/sign=ef51aa06d73f8794d7ff4c2de61a0ead/78310a55b319ebc4ca513f278126cffc1e171666.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D186/sign=aaeba8b18494a4c20e23e32338f51bac/aec379310a55b31997a7cbcb40a98226cffc1735.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D170/sign=b717c9018f5494ee83220b1e1df4e0e1/9e3df8dcd100baa189d80f054410b912c9fc2e93.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D123/sign=7cf2e6ac710e0cf3a4f74af93947f23d/902397dda144ad34b522cc39d3a20cf430ad85eb.jpg)
其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中,我们可以推出哥德巴赫定理:任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个,我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把
和Fj都整除;则a能整除它们相减的差。因为a > 1,这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论,我们得到素数个数无穷的又一个证明。
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D65/sign=d01be884334e251fe6f7e7fda68613f3/2f738bd4b31c870130a4f858247f9e2f0708ff7a.jpg)
(4)其他奇奇怪怪的性质
-
Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D306/sign=5ebcf29e02e9390152028b3e4ded54f9/0823dd54564e9258f36ccc509f82d158ccbf4e37.jpg)
-
除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
-
当p是奇素数的时候,没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。
-
除了F0和F1,费马数的最后一位是7。
(233其实这理论好像没碰到几题)