BZOJ 1502 月下柠檬树(simpson积分)

题目链接：http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1502

题意：给出如下一棵分层的树，给出每层的高度和每个面的半径。光线是平行的，与地面夹角alpha。求树在地面上投影的面积。

首先，做这题需要知道一点：一个圆从任意一个角度投影都永远是一个圆。

我们可以画出一个简图如下：

如图，这棵树倒影之后，有图中两个圆心p1,p2,他们的横坐标即为这颗树上他们原先的高度乘以cotΘ，而他们的半价却不会变化，因为月光是平行光，所以在圆面与地面平行时，两点间距离不会变化。

如图，倒影最终是圆和他们之间的公切线构成的图形，最右边的点可以看做是半径为eps的圆。之后，可以利用simpson积分公式计算，simpson(l,r)=(f(l)+f(r)+4*f(mid))*(r-l)/6,若是精度差距大可以继续递归，注意：本题的eps要1e-6以下才能过。

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
const double eps=1e-6;
struct Point{
    double x,y;
    Point(){};
    Point(double x0,double y0):x(x0),y(y0){};
}e[200005],s[200005],a[200005],b[200005];
int n;
double sqr(double x){
    return x*x;
}
void cal(Point &s,Point &e,Point a,Point b){
    if (std::fabs(a.y-b.y)<eps){
        s=a;
        e=b;
        return;
    }
    double x0=a.x-a.y*(b.x-a.x)/(b.y-a.y);
    double k=a.y/(a.x-x0);
    s.x=a.x-k*a.y;
    s.y=sqrt(sqr(a.y)-sqr(a.x-s.x));
    e.x=b.x-k*b.y;
    e.y=sqrt(sqr(b.y)-sqr(b.x-e.x));
}
double f(double x){
    double y=0;
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
     if (std::fabs(x-a[i].x)<=a[i].y)
      y=std::max(y,sqrt(sqr(a[i].y)-sqr(std::fabs(x-a[i].x))));
    for (int i=1;i<=n;i++)
     if (a[i+1].x-a[i].x-std::fabs(a[i].y-a[i+1].y)>eps&&x>=s[i].x&&x<=e[i].x){
            y=std::max(y,s[i].y+(x-s[i].x)*(e[i].y-s[i].y)/(e[i].x-s[i].x));
     }  
    return y;
}
double work(double L,double R){
    double mid=(L+R)/2;
    return (f(L)+f(R)+f(mid)*4)*(R-L)/6;
}
double simpson(double L,double R){
    double mid=(L+R)/2;
    double x1=work(L,mid),x2=work(mid,R),x3=work(L,R);
    if (std::fabs(x1+x2-x3)<eps) return x1+x2;
    else return simpson(L,mid)+simpson(mid,R);
}
int main(){
    double theta;
    scanf("%d%lf",&n,&theta);
    theta=1/(tan(theta));
    double h=0; 
    for (int i=1;i<=n+1;i++){
     scanf("%lf",&a[i].x);
     h+=a[i].x;
     a[i].x=h*theta;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%lf",&a[i].y);
    a[n+1].y=a[n+2].y=0;
    double L=a[1].x,R=a[n+1].x;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        L=std::min(a[i].x-a[i].y,L);
        R=std::max(a[i].x+a[i].y,R);
        if (a[i+1].x-a[i].x-std::fabs(a[i+1].y-a[i].y)>eps){
           cal(s[i],e[i],a[i],a[i+1]);    
        }
    }
    printf("%.2f\n",2*simpson(L,R));
}