BZOJ 1036 [ZJOI2008]树的统计Count（动态树）
题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1036
题意：一棵树，每个节点有一个权值。三种操作：（1）修改某个节点的权值；（2）输出某两个节点之间的权值之和；（3）输出某两个节点之间权值的最大值。
思路：（1）首先说明，在splay中记录一个father，表示当前节点的父节点。但是在这里，在一个树链中，father与在splay中的father的意义是一样的，也就是设v的father是u，那么u的左孩子或者右孩子必然有一个是v。但是，若v和u不在一个树链中，那么u表示v所在树链的最上面的顶点的父节点。也就是此时u的左孩子和右孩子都不是v，u和v属于两个树链；
（2）在一个树链中v的左孩子是在v上面的顶点，也就是在原树中这些点都是v的父节点以及祖宗节点；右孩子是v下面的顶点，也就是原树中v的孩子以及子孙节点。当然不管右孩子还是左孩子都是当前与v在一个树链中的；
（3）splay(x)将x旋转到x所在的树链的根，access(x)将x和root（这个root才是真正的树根）的边变为实边。在access(x)时，首先要断开x与其右孩子Xr的关联（在（4）中我们解释为什么要断开），并将Xr的father设为x，那么此时，Xr将成为一个树链的根；接着对于v的父节点u，因为要将u的右孩子变为v，所以之前u的右孩子（若有）Ur要与其断开并将Ur的father设为u，此时Ur将成为其所在树链的根；接着将u的右孩子设为v。一直向上直到root；
（4）每次计算(x,y)的最大或者和时，首先access(x)将x和root之间的边变为实边，然后access(y)此时返回值就是p=Lca(x,y)。想想为什么是这样？因为Lca(x,y)已经跟x在一个树链上了，因为我们已经access(x)了。现在从y开始向上找时，对于其father节点z，首先会splay(z)将z转到其所在树链的根节点，那么若z是Lca(x,y)，那么z必然将成为树根，也就是root，那么其father节点为null。现在我们说明白了返回值为什么是 Lca(x,y)。接着p会与x断开，因为x在p的右孩子或者右孩子以下，p的右孩子将变成y所以断开了。此时若将splay(x)，那么x就是p到x路径（不包含p）组成的树链的根，并且不会包含x以下的部分，在（3）中我们知道，x向上access时x与其右孩子已经断开。那么用x的sum以及p的val以及p的右孩子也就是y的sum就能计算出x到y的和。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<string> 6 #include<algorithm> 7 long long w[60005],sum[60005],mx[60005]; 8 int fa[60005],ch[60005][2],st[60005]; 9 int u[200005],v[200005],n,m,rev[60005],x,y; 10 void updata(int x){ 11 int l=ch[x][0],r=ch[x][1]; 12 sum[x]=w[x]+sum[l]+sum[r]; 13 mx[x]=std::max(w[x],std::max(mx[l],mx[r])); 14 } 15 void pushdown(int x){ 16 int l=ch[x][0],r=ch[x][1]; 17 if (rev[x]){ 18 rev[x]^=1; 19 rev[l]^=1; 20 rev[r]^=1; 21 std::swap(ch[x][1],ch[x][0]); 22 } 23 } 24 bool pd(int x){ 25 return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x; 26 } 27 void rotate(int x){ 28 int y=fa[x],z=fa[y],l,r; 29 if (ch[y][0]==x) l=0;else l=1;r=l^1; 30 if (!pd(y)){ 31 if (ch[z][0]==y) ch[z][0]=x;else ch[z][1]=x; 32 } 33 fa[x]=z;fa[y]=x;fa[ch[x][r]]=y; 34 ch[y][l]=ch[x][r];ch[x][r]=y; 35 updata(y);updata(x); 36 } 37 void splay(int x){ 38 int top=0;st[++top]=x; 39 for (int i=x;!pd(i);i=fa[i]){ 40 st[++top]=fa[i]; 41 } 42 for (int i=top;i;i--) 43 pushdown(st[i]); 44 while (!pd(x)){ 45 int y=fa[x],z=fa[y]; 46 if (!pd(y)){ 47 if (ch[y][0]==x^ch[z][0]==y) rotate(x); 48 else rotate(y); 49 } 50 rotate(x); 51 } 52 } 53 void access(int x){ 54 for (int t=0;x;t=x,x=fa[x]){ 55 splay(x); 56 ch[x][1]=t; 57 updata(x); 58 } 59 } 60 void makeroot(int x){ 61 access(x);splay(x);rev[x]^=1; 62 } 63 void link(int x,int y){ 64 makeroot(x); 65 fa[x]=y; 66 } 67 int main(){ 68 scanf("%d",&n);mx[0]=-0x7fffffff; 69 for (int i=1;i<n;i++){ 70 scanf("%d%d",&u[i],&v[i]); 71 } 72 for (int i=1;i<=n;i++){ 73 scanf("%lld",&w[i]); 74 sum[i]=mx[i]=w[i]; 75 } 76 for (int i=1;i<n;i++){ 77 link(u[i],v[i]); 78 } 79 scanf("%d",&m); 80 char s[20]; 81 for (int i=1;i<=m;i++){ 82 scanf("%s%d%d",s,&x,&y); 83 if (s[1]=='H'){ 84 splay(x); 85 w[x]=y; 86 updata(x); 87 } 88 else 89 if (s[1]=='M'){ 90 makeroot(x); 91 access(y); 92 splay(y); 93 printf("%lld\n",mx[y]); 94 } 95 else{ 96 makeroot(x); 97 access(y); 98 splay(y); 99 printf("%lld\n",sum[y]); 100 } 101 } 102 103 }
