浅谈 Catalan 数
Catalan 数
入栈：右移一单位长度；
出栈：上移一单位长度。
有 \(H_n = C_{2n}^n - C_{2n}^{n-1} = \dfrac{C_{2n}^n}{n+1}\)
发现 Catalan 数的递推式为：\(H_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}H_i H_{n-i-1}\)
定义 \(\{H_n\}\) 的生成函数 \(f(x) = \sum\limits H_i x^i\)
于是我们可以得到：
\[\begin{aligned}
f^2(x) &= H^2_0x^0 + (H_0 H_1+H_1 H_0)x^1 + (H_0 H_2 + H_1^2+H_2 H_0)x^2 + \ldots \\
&=\sum\limits_{i=0} (\sum\limits_{j+k=i}H_j H_k)x^i \\
&= \sum\limits_{i=0} H_{i+1} x^i \\
&= \dfrac{f(x)-1}{x}
\end{aligned}
\]
得到 \(f(x)=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}\)
注意到 Maclaurin 展开后得到：\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{C_{2n}^n}{n+1}x^n\)。
于是 \(H_n = \dfrac{C_{2n}^n}{n+1}\)。
