「NOIP 模拟赛 20230707」T2 - 涂照片 题解

题目大意#

原题

有一个 $n+1\times m+1$ 的网格。对于每一行 $i$，都要将左侧的一些格子 $(i,1),(i,2),\ldots,(i,x)$ 涂黑，其中 $x = k$ 的概率为 $a_{i,k}$。同理对于每一列 $j$，都要将上方的一些格子 $(1,j),(2,j),\ldots,(x,j)$ 涂黑，其中 $x = k$ 的概率为 $b_{k,j}$。求图中连通块的期望个数。

题解#

发现本题中 $(1,1)\sim(n,1)$ 以及 $(1,1)\sim(1,m)$ 一定涂黑，于是所有的黑格子一定在一个连通块内，所以只要考虑白格子即可。

发现本题中白色的连通块一定存在一个最右下的白色格子，使得该连通块内所有格子均在其左侧、上方或左上方。于是，我们只需要算出每个格子成为这个右下格子的概率，加起来再加 $1$ 就是白色连通块的期望数（加 $1$ 是因为 $(n+1,1)\sim (n+1,m+1)$ 以及 $(1,m+1)\sim (n+1,m+1)$ 构成了一个白色连通块）。

考虑如何求出每个格子作为左下格子的期望。发现对于一个格子 $(i,j)$，其作为左下格子，当且仅当：第 $i$ 行和第 $j$ 列都没染到该格子，且第 $i+1$ 行和第 $j+1$ 列都染过了该格子。这些都可以把概率数组前缀和搞定。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 1005
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int n,m; ll h[maxn][maxn],v[maxn][maxn],ans=0;
int main(){
	//freopen("photo.in","r",stdin); freopen("photo.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%lld",&h[i][j]); h[i][j]=(h[i][j]+h[i][j-1])%mod;}
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&v[i][j]);
	for(int j=1;j<=m;j++) for(int i=1;i<=n;i++) v[i][j]=(v[i][j]+v[i-1][j])%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
		ans=(ans+h[i][j-1]*v[i-1][j]%mod*(h[i+1][n]-h[i+1][j-1]+mod)%mod*(v[n][j+1]-v[i-1][j+1]+mod)%mod)%mod;
	printf("%lld",ans+2); return 0;
}