十二重计数法

十二重计数法

题目描述

有 $n$ 个球和 $m$ 个盒子，要全部装进盒子里。
还有一些限制条件，那么有多少种方法放球？

编号	球是否相同	盒子是否相同	其他条件
I	否	否	/
II	否	否	每盒最多一个
III	否	否	每盒至少一个
IV	否	是	/
V	否	是	每盒最多一个
VI	否	是	每盒至少一个
VII	是	否	/
VIII	是	否	每盒最多一个
IX	是	否	每盒至少一个
X	是	是	/
XI	是	是	每盒最多一个
XII	是	是	每盒至少一个

I

$$F_I[n,m]=m^n$$

II

$$F_{II}[n,m]=\prod _{i=1}^n(m-i+1)=m^{\underset{―}{n}}$$

III

$$F_{III}[n,m]=\sum _{i=0}^m((-1{)}^{m-i}\times C_i^m\times i^n)$$

IV

$$F_{IV}[n,m]=\sum _{i=0}^m\left(\sum _{j=0}^i\frac{(-1{)}^{i-j}\times j^n}{j!\times (i-j)!}\right)$$

V

$$F_V[n,m]=\{\begin{array}{rlr}0& & (n>m)\\ 1& & (n\le m)\end{array}$$

VI

$$F_{IV}[n,m]=\sum _{j=0}^m\frac{(-1{)}^{m-j}\times j^n}{j!\times (m-j)!}$$

VII

$$F_{VII}[n,m]=C_{m-1}^{n+m-1}$$

VIII

$$F_{VII}[n,m]=C_n^m$$

IX

$$F_{VII}[n,m]=C_{m-1}^{n-1}$$

X

$$F_X[n,m]=\{\begin{array}{rlrl}& 1& (n=0)& \\ & 0& (n\ne 0andm=0)& \\ & 0& (n<0orm<0)& \\ & F_X[n,m-1]+F_X[n-m,m]& others& \end{array}$$

XI

$$F_{XI}[n,m]=\{\begin{array}{rlr}0& & (n>m)\\ 1& & (n\le m)\end{array}$$

XII

$$F_{XII}[n,m]=F_X[n-m,m]$$