作业5_矩阵的逆与线性方程组的通解

1. 用本文件后面的程序在求下列方程组的解的同时求出系数矩阵的逆矩阵和系数矩阵行列式。

（1）

参考解为：

x =(11.5,-1.5,-4.,0.,-2.)^T

（2）

参考解为：

2. 试思考如何编写程序求下面方程组的解

//======== gauss.txt中的数据 =========

算例1

1 -1 2 -3 1 3

-3 3 -7 9 -5 -1

2 0 4 -2 1 5

3 -5 7 -14 6 2

4 -4 10 -10 2 8

/* 算例2

4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0 5

8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0 12

4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1 3

0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 2

-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3 3

8 6 -1 3 7 17 2 6 -3 5 46

0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1 13

16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2 38

4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4 19

0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1 -21

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//==== 求解线性方程组同时求系数矩阵的行列式和逆矩阵解====
 
//=======================================================
 
#include<stdio.h>
 
#include<math.h>
 
void main()
 
{
 
       double a[15][15], x[15], temp, mt[15][15], c[15][15];
 
       double det = 1, b[15][15]={0};       // 增加两个变量, det :存放行列的值,
 
                                            // b[][]:存放逆矩阵,所有元素均设为0
 
       int i, j, k, n, flag;
 
       FILE *f;
 
       f = fopen ("d:\\gauss.txt", "r");   
 
       fscanf(f, "%d", &n);                 // 读入议程组的阶数
 
       puts("方程组的增广矩阵为：");
 
       for (i=1; i<=n; i++)                 // 读入议程组的增广矩阵的数据
 
       {
 
              for(j=1; j<=n+1; j++)
 
              {
 
                     fscanf(f, "%lf", &a[i][j]);
 
                     mt[i][j] = a[i][j];         // 备份
 
                     printf("%7.3lf", a[i][j]);  //  输出增广矩阵的值
 
              }
 
              puts("");
 
       }
 
       fclose(f);                      //   a[][] |  b[][]= E
 
                                       //   E     |  a^(-1)
 
       for(i=1; i<=n; i++)             
 
              b[i][i] = 1;   // b[][]初始时为单位矩阵,即对角线上的元素都设为1
 
                          // b[][]与a[][]做相同的行变换
 
       puts("");
 
       for (k=1; k<=n; k++)
 
       {
 
                        //找主无素
 
              flag = k;
 
              temp = fabs(a[k][k]);
 
              for(i=k+1; i<=n; i++)
 
              {
 
                     if(fabs(a[i][k]) > temp)
 
                     {
 
                            temp = fabs(a[i][k]);
 
                            flag = i;
 
                     }
 
              }
 
              if (flag != k)         // 找到的主元素如果不是a[k][k]， 交换行
 
              {
 
                     det = det * (-1);  // 换一次行，行列式的值改变一次符号
 
                     for (j=1; j<=n+1; j++) // 交换第k行和第flag行
 
                     {
 
                            temp=a[k][j];         // 对a[][]进行变换，消元
 
                            a[k][j] = a[flag][j];
 
                            a[flag][j] = temp;
 
                                      // 矩阵 b[][] 做相同的行变换
 
                            temp=b[k][j];
 
                            b[k][j] = b[flag][j];
 
                            b[flag][j] = temp;
 
                     }
 
              }
 
              //消元
 
              temp = a[k][k];
 
              det = det * temp;  // 化为三角阵后，对角线上元素的乘积为行列式的值
 
                                 // 主元素的积即为行列式的值
 
              for (j=1;j<=n+1; j++ )   // 第k行除以主元素
 
              {
 
                     a[k][j] /= temp;  
 
                     b[k][j] /= temp;     // 矩阵 b[][] 做相同的行变换                 
 
              }
 
              for(i=k+1; i<=n; i++)
 
              {
 
                     temp = a[i][k];
 
                     for(j=1; j<=n+1; j++)
 
                     {
 
                            a[i][j] = a[i][j] - temp * a[k][j];
 
                                                  // 矩阵 b[][] 做相同的行变换   
 
                            b[i][j] = b[i][j] - temp * b[k][j];
 
                     }
 
              }
 
       }                          //  回代即可得方程组的解
 
                                  //  行列式已得
 
       puts("方程组的增广矩阵化为上三角阵：");
 
       for (i=1; i<=n; i++)            // 输出增广矩阵的最终形式,
 
       {
 
              for(j=1; j<=n+1; j++)
 
                     printf("%7.3lf", a[i][j]);
 
              puts("");
 
       }
 
    puts("");
 
       for (k=n; k>=1; k--)    // 在上三角矩阵的基础上将系数矩阵化为单位矩阵
 
       {
 
              for (i=k-1; i>=1; i--)
 
              {
 
                     temp = a[i][k];
 
                     for (j=1; j<=n+1; j++)
 
                     {
 
                            a[i][j] = a[i][j] - a[k][j] * temp;
 
                            b[i][j] = b[i][j] - b[k][j] * temp;  // 矩阵 b[][] 做相同的行变换                         
 
                     }
 
              }
 
       }
 
       puts("方程组的增广矩阵最终变为：");
 
       for (i=1; i<=n; i++)            // 输出增广矩阵的最终形式,
 
       {
 
              for(j=1; j<=n+1; j++)
 
                     printf("%7.3lf", a[i][j]);
 
              puts("");
 
       }
 
       puts("上面矩阵最后一列即为方程组的解：");
 
       puts("");
 
       printf("系数矩阵的行列式为：  det(A) = %10.3f \n \n", det);  // 输出行列式的值
 
       puts("系数矩阵的逆矩阵为："); // 输出系数矩阵的逆矩阵
 
       for (i=1; i<=n; i++)
 
       {
 
              for(j=1; j<=n; j++)
 
                     printf("%7.3lf", b[i][j]);
 
              puts("");
 
       }
 
       puts("\n检验逆矩阵的正确性：\n"); // 输出系数矩阵的逆矩阵
 
       for(i=1; i<=n; i++)
 
              for(j=1; j<=n; j++)
 
              {
 
                     temp = 0;
 
                     for(k=1; k<=n; k++)
 
                            temp += mt[i][k]*b[k][j];  // mt[][] 原系数矩阵
 
                     c[i][j] = temp;
 
              }
 
       for (i=1; i<=n; i++)
 
       {
 
              for(j=1; j<=n; j++)
 
                     printf("%7.3lf", c[i][j]);
 
              puts("");
 
       }
 
}