二叉树 - 基本概念

• 1. 树的基本概念
• 2. 二叉树概念
  • 2.1 什么是二叉树
  • 2.2 什么是满二叉树和完全二叉树 
  • 2.3 二叉树的重要性质(重要)
  • 2.4 二叉树性质练习

 

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1. 树的基本概念

与数组链表不同，树是一种非线性的存储结构，它由n (n>=0) 个节点构成 并具有层次关系的存储结构

把这个存储结构叫做树 是因为它看上去像一颗倒挂着的树，只是根在上 叶子在下

它有以下特性:

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

2. 树是由若干不相交的子树组成

3. 一个有N个节点的树有N-1条边

4. 除根节点外，每个节点只有一个父节点

树的概念：

(重要）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的深度：对于A节点 深度为1，对于N节点 深度为3，对于Q节点 深度为4, 树的深度与指定的节点层次相同

(了解）

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

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2. 二叉树概念

2.1 什么是二叉树

二叉树是由每个不超过2度的节点(<= 2)组成的一颗树

它可以是空树 可以只有根节点，只要满足每个节点的度<=2 都可以看做是一颗二叉树

2.2 什么是满二叉树和完全二叉树 

满二叉树和完全二叉树是两种特殊的二叉树

满二叉树除了最后一层之外，每一层的节点的度都为2

完全二叉树中的节点 是从上到下 从左到右 依次存放的

如果是下图 就不是完全二叉树 因为空一个节点 没有依次存放

满二叉树可以是完全二叉树, 但是完全二叉树不一定是满二叉树

 

2.3 二叉树的重要性质(重要)

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^{i - 1} (i>0)个结点

比如:

第1层 -> 2^1-1 -> 1个节点

第4层 -> 2^{4 - 1} -> 8个节点

 

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则高度为K的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)

比如: 高度为4的树 -> 2⁴ - 1 最多有15个节点

 

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2, 则有n0＝n2＋1

证明:

设 N 为总节点个数, N0 N1 N2 分别为 度为0 度为1 度为2节点

根据二叉树性质: 二叉树中每个节点的度 <= 2,二叉树所有节点由度为0 1 2组成  建立等式：N = N0 + N1 + N2

根据树的性质: 1颗N个节点的树有N-1条边，度为0的节点没有边 度为1,2节点分别有1和2条边 建立等式：N-1 = 1 * N1 + N2 * 2

简化: N = N1 + N2 + N2 + 1 = N0 + N1 + N2 ——》N2 + 1 = N0  度为0的节点个数 永远比度为2的节点多一个

 

4. 具有n个结点的完全二叉树的高度h = log₂⁽ⁿ⁺¹⁾ 上取整

2^h - 1 = n

 

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下 从左至右的顺序 对所有节点从0开始编号

通过父节点下标可以找到左孩子和右孩子节点下标，左右孩子节点也可以通过下标找到父节点下标

比如：

3子节点 ——》 (3-1)/2 ——》找到父节点下标1

4子节点 ——》 (4-1)/2 ——》找到父节点下标1

1父节点 ——》 2*1 + 1 ——》找到子节点下标3

1父节点 ——》 2*1 + 2 ——》找到子节点下标4

 

同时通过父节点下标可以 判断是否存在左右孩子节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树性质练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

根据二叉树性质3：对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2, 则有n0＝n2＋1

叶子结点数为 200

 

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

根据观察 如果一颗完全二叉树总结点数为偶数 则会有一个度为1的节点，如果节点个数为奇数 则没有度为1的节点

因为n*2 一定会是一个偶数，所以它的总结点个数会是偶数，会有一个度为1的节点

2n = N0 + N2 + N1(1) =  N0 + N0 - 1 + 1 = N0 = N

 

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

节点个数为奇数 则没有度为1的节点

767 = N0 + N0 - 1

N0 = 384

 

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）

当高度k为9，最多节点个数为512，所以树高度 k = 10