常见的概率分布

1. 离散型分布

1.1 两点分布（伯努利分布/贝努利分布/0-1分布）

称随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布，如果它分别以概率 $p$ 和 $1-p$ 取 1 和 0 为值。

P (X = k) = p^{k} (1 - p)^{1 - k}, k = 0, 1 X \sim B (1, p) E (X) = p D (X) = p (1 - p)

$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1\\ X\sim B(1,p)\\ E(X)=p\\ D(X)=p(1-p)$

1.2 二项分布

n次独立的伯努利试验。如果事件发生的概率是 $p$ ，n次独立重复试验中发生k次的概率是（有放回抽样）

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, . . ., n X \sim B (n, p) E (X) = n p D (X) = n p (1 - p)

$P(X=k)=\mathrm C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,...,n\\ X\sim B(n,p)\\ E(X)=np\\ D(X)=np(1-p)$

有 $n$ 件产品，其中 $m$ 件次品 ( $m<n$ )，从中不放回地任意抽取 $k$ 件产品和有放回地任意抽取 $k$ 件产品，在这两种抽取方法中每次抽出次品的概率相同，都为 $\frac{m}{n}$ ，抽得次品数的期望值也相同，都为 $k\frac{m}{n}$ ，但抽到的次品数的分布列不同，方差不同（超几何分布与二项分布）

关于为什么不放回抽样每次抽出次品的概率相同，见文末。

1.3 几何分布

在n次伯努利试验中，试验k次才第一次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当 $r=1$ 时的特例

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k = 1, 2, . . . X \sim G E (p) E (X) = \frac{1}{p} D (X) = \frac{1 - p}{p^{2}}

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,...\\ X \sim GE(p)\\ E(X)=\frac{1}{p}\\ D(X)=\frac{1-p}{p^2}$

例：某产品的合格率为0.05，则首次查到不合格品的检查次数 $X\sim GE(0.05)$

1.4 帕斯卡分布（负二项分布）

在重复独立的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为 $p$ ，若将试验进行到出现 $r$ ( $r$ 为常数) 次成功为止，以随机变量 $X$ 表示所需试验次数，

P (X = k) = C_{k - 1}^{r - 1} p^{r} (1 - p)^{k - r}, k = r, r + 1, . . . E (X) = \frac{r}{p}

$P(X=k)=\mathrm C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}, \quad k=r,r+1,...\\ E(X)=\frac{r}{p}$

（当 $r$ 是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布）

1.5 超几何分布

从 N 个物件中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回抽样）。

$X\sim H(N,M,n)$

产品抽样检查中，假定在 N 件产品中有 M 件不合格品，即不合格率为 $\frac{M}{N}$ ，在产品中随机抽 n 件进行检查，发现 k 件不合格品的概率为

P (X = k) = \frac{C_{M}^{k} C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}, k = 0, 1, . . ., m i n {n, M} E (X) = \frac{n M}{N} D (X) = n \frac{M}{N} (1 - \frac{M}{N}) \frac{N - m}{N - 1}

$P(X=k)=\frac{\mathrm C_M^k \mathrm C_{N-M}^{n-k}}{\mathrm C_N^n},\quad k=0,1,...,min\{n,M\}\\ E(X)=\frac{nM}{N}\\ D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-m}{N-1}$

1.6 泊松分布

泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数，泊松分布的参数 $\lambda$ 是单位时间内随机事件的平均发生次数。

P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}, k = 0, 1, . . . E (X) = λ D (X) = λ

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,...\\ E(X)=\lambda\\ D(X)=\lambda$

特征函数： $\Psi(t)=\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}$

2. 连续型分布

2.1 均匀分布 $U(a,b)$

密度函数：

f (x) = {\begin{aligned} \frac{1}{b - a} & , & a < x < b \\ 0 & , & 其 他 \end{aligned}

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{b-a}&,&\quad a<x<b \\ &0&,&\quad 其他 \end{aligned} \right.$

分布函数：

F (x) = {\begin{aligned} 0 & , & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & , & a \leq x < b \\ 1 & , & x \geq b \end{aligned}

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} &0&,&\quad x<a \\ &\frac{x-a}{b-a}&,&\quad a\leq x < b\\ &1&,&\quad x\geq b \end{aligned} \right.$

期望和方差：

E (X) = \frac{a + b}{2} D (X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}

$E(X)=\frac{a+b}{2}\\ D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

2.2 指数分布 $E(\lambda)$

f (x) = {\begin{aligned} λ e^{- λ x} & , & x > 0 \\ 0 & , & 其 他 \end{aligned}

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x} &,&\quad x>0 \\ &0&,&\quad 其他 \end{aligned} \right.$

F (x) = {\begin{aligned} 0 & , & x < 0 \\ 1 - e^{- λ x} & , & x \geq 0 \end{aligned}

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} &0&,&\quad x<0\\ &1-e^{-\lambda x} &,&\quad x\geq0 \\ \end{aligned} \right.$

E (X) = \frac{1}{λ} D (X) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X)=\frac 1\lambda\\ D(X)=\frac {1}{\lambda^2}$

2.3 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}, - \infty < x < + \infty F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{(t - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d t

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty <x<+\infty\\ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt\\$

E (X) = μ D (X) = σ^{2}

$E(X)=\mu\\ D(X)=\sigma^2$

一般来说，正态分布的密度曲线是以为中心，在 $\mu$ 的两侧呈对称的形状，曲线的形状像一个钟的剖面，故称为钟形曲线。 $\sigma$ 越大，密度曲线的峰度越低； $\sigma$ 越小，密度曲线的峰度越高。无论参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 取何值，密度曲线下所覆盖的面积均于 1。正态分布的密度曲线见图 1.4 。