前缀和，差分

前缀和，差分

通俗理解

• 前缀和听起来好高级啊，那么他究竟是什么啊？

当询问一个区间[l,r]的和sum（忽略掉O(n)的暴力，它就发挥了大用处。基本的前缀和如下：

s[i]=s[i-1]+a[i]

• 差分是什么啊？

  当多次对于区间[l,r]加或减一个权值时,差分很重要

  差分还要多一个东西：差分数组

  b[i]=a[i]-a[i-1]
  

  对差分进行前缀和就变成了原数组，前缀和数组进行差分便成了原数组

  对一个区间[l,r]加一个权值c时

  b[l]+=c,b[r+1]-=c;
  

接下来看几道栗子吧

前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N],s[N];

void solve()
{
	int n,m;

	cin >> n >> m;

	for(int i = 1; i<=n; i++) cin >> a[i];

	for(int i = 1; i<=n; i++) s[i]=s[i-1]+a[i];

	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin >> l >> r;
		cout << s[r]-s[l-1] <<endl;
	}
}
signed main()
{
	solve();

	return 0;
}

再来看看二维的前缀和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int a[N][N],s[N][N];

void solve()
{
	int n,m,q;

	cin >> n >> m >> q;

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++) cin >> a[i][j];
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			s[i][j]=a[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
		}
	}

	while(q--)
	{
		int x1,y1,x2,y2;

		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

		cout << s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1] <<endl;
	}
}

signed main()
{
	solve();

	return 0;
}

差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r][l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N],b[N];

void solve()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;

	for(int i = 1; i<=n; i++) cin >> a[i];

	for(int i = 1; i<=n; i++) b[i]=a[i]-a[i-1];

	while(m--)
	{
		int l,r,c;
		cin >> l >> r >> c;

		b[l]+=c,b[r+1]-=c;
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++) b[i]+=b[i-1];

	for(int i = 1; i<=n; i++) cout << b[i] <<' ';
}

signed main()
{
	solve();

	return 0;
}

二维差分

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2） 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q

接下来n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int s[N][N];

void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
	s[x1][y1]+=c;
	s[x1][y2+1]-=c;
	s[x2+1][y1]-=c;
	s[x2+1][y2+1]+=c;
}

void solve()
{
	int n,m,q;
	cin >> n >> m >> q;

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			int v;
			cin >> v;
			add(i,j,i,j,v);
		}
	}

	while(q--)
	{
		int x1,y1,x2,y2,c;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
		add(x1,y1,x2,y2,c);
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++) s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			cout << s[i][j] <<' ';
		}

		cout <<endl;
	}
}

signed main()
{
	solve();

	return 0;
}

看一下实战题

激光炸弹

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 5e3 + 10;

int a[N][N];

void solve()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		int x,y,w;
		cin >> x >> y >> w;

		a[x+1][y+1]+=w;
	}

	for(int i = 1; i<N; i++)
	{
		for(int j = 1; j<N; j++) a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
	}

	int ans = 0;

	for(int i = 1; i<N; i++)
	{
		for(int j = 1; j<N; j++)
		{
			int x1 = i,y1 = j,x2 = i+m-1,y2 = j+m-1;
			if(x2>=N||y2>=N) continue;
			int t = a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
			ans=max(ans,t);
		}
	}

	cout << ans <<endl;
}

signed main()
{
	solve();

	return 0;
}

再来一道

这道题还用到了二分

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int n,m;

bool check(int mid,vector<vector<int>>a)
{
	vector<vector<int>>s(n+10);

	for(int i = 0; i<=n+2; i++) s[i].resize(m+10);

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			if(a[i][j]>=mid) s[i][j]=1;
			else s[i][j]=0;
		}
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
		}
	}

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++)
		{
			int x1 = i,y1 = j,x2 = i+mid-1,y2 = j+mid-1;

			if(x2>n||y2>m) continue;

			int t = s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
			if(t==mid*mid) return true;
		}
	}

	return false;
}


void solve()
{
	cin >> n >> m;

	vector<vector<int>>a(n+10);

	for(int i = 0; i<=n+2; i++) a[i].resize(m+10);

	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		for(int j = 1; j<=m; j++) cin >> a[i][j];
	}

	int l = 0,r = min(n,m);

	while(l<r)
	{
		int mid = (l + r + 1)>>1;

		if(check(mid,a)) l=mid;
		else r = mid - 1;
	}

	cout << l <<endl;
	
}

signed main()
{
	int T;
	cin >> T;

	while(T--) solve();

	return 0;
}