【模板】最近公共祖先 LCA

一个月以前学的最近公共祖先。一直以为我理解的最够深刻了，直到遇见真的比较复杂的题之后，才发现自己的漏洞。

那么今天就借助一道模板题来总结一下吧。

下面是洛谷模板的题面。

下面是样例及解释。

Input

Output

那么接下来就详细说说LCA是怎么回事吧。

　　首先是一般的LCA。

（我是盗图小丸子，对图作者表示歉意与感谢）

　　那么我们就先举个栗子。

　　比如4和16的LCA就是3.而对于9和10的LCA则是7.对于17和18则又是3。

　　那么暴力做法就很显然了不是吗？

暴力做法

　　我们就以17和18为例。既然是要找LCA，那么我们就让他们往上去走。

　　 $1 7 - > 1 4 - > 1 0 - > 7 - > 3$

倍增LCA

　　当你看到这里，这题才刚刚开始啊。

　　那么首先先说倍增吧（有专门讲倍增的文章这里就简单说一下啦）。

!!倍增

　　倍增就是按照2的n次幂来往上走。但是我们一般是从大往小跳，当用大的跳过了之后，就用小的再跳回来（好蠢的样子）。

　　还是举个栗子吧（还是17和18）

　　 $1 7 - > 3$

void dfs(int f,int fath) {
    deep[f]=deep[fath]+1;
    fa[f][0]=fath;
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[f];i++) 
        fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1];//意思是f的2^i祖先等于f的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先  2^i=2^(i-1)+2^(i-1)
    for(int i=head[f];i;i=edge[i].nex)
    	if(edge[i].t!=fath) 
            dfs(edge[i].t,f);
    return;
}

　　然后我们就可以上LCA了。

　　在此之前，我喜欢先加一个常数的优化。（当然你也可以不加，直接套用log2（x）->x是次方，就应该也可以啊）

 for(int i=1;i<=n;i++) 
        lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);//看不懂就自己手推好啦，这可救不了你

　　然后就是LCA啦，我们想把他们都调到一个高度再找，这样就可以实现了。

int LCA(int x,int y) {
    if(deep[x]<deep[y]) 
        swap(x,y);
    while(deep[x]>deep[y]) 
        x=fa[x][lg[deep[x]-deep[y]]-1];
    if(x==y) 
        return x;
    for(int k=lg[deep[x]]-1;k>=0;k--)
    	if(fa[x][k]!=fa[y][k]) {
          	x=fa[x][k];
            y=fa[y][k];
        }
    return fa[x][0];
}

　　很好，我自以为讲的还不错，勉强看吧（毕竟语文不好）。下面放完整版。

Code（代码风格2.1版）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MA=5e5+1;
struct ss{
    int t,nex;
}edge[2*MA];
int n,m,s,tot;
int fa[MA][22];
int lg[MA],head[MA],deep[MA];

int read() {
    int x=0;
    bool flag=0;
    char ch=getchar();
    if(ch=='-') 
        flag=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') 
        ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') {
    	x*=10;
        x+=ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    if(flag) return -x;
    return x;
}//快读压行什么的，我才不要 傲娇】

void add(int x,int y) {
    edge[++tot].t=y; 
    edge[tot].nex=head[x];
    head[x]=tot;
}

void dfs(int f,int fath) {
    deep[f]=deep[fath]+1;
    fa[f][0]=fath;
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[f];i++) 
        fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1];
    for(int i=head[f];i;i=edge[i].nex)
    	if(edge[i].t!=fath) 
            dfs(edge[i].t,f);
    return;
}

int LCA(int x,int y) {
    if(deep[x]<deep[y]) 
        swap(x,y);
    while(deep[x]>deep[y]) 
        x=fa[x][lg[deep[x]-deep[y]]-1];
    if(x==y) 
        return x;
    for(int k=lg[deep[x]]-1;k>=0;k--)
    	if(fa[x][k]!=fa[y][k]) {
          	x=fa[x][k];
            y=fa[y][k];
        }
    return fa[x][0];
}

int main()
{
    n=read();
    m=read();
    s=read();
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int x=read();
        int y=read();
        add(x,y); 
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int a=read();
        int b=read();
        int ans=LCA(a,b); 
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

然后我这题还能用树链剖分，还有约束RMQ求LCA，以及tarjan求LCA（这些我全都不会）。之后会了的话会回来不上的，有兴趣的可以之后在自学一下啦。

那么就这样啦。谢谢

posted @ 2019-03-01 14:00 鸽子咕阅读(175) 评论(0) 编辑收藏举报

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