2019.9.17 初级数据结构——并查集及其应用

一、并查集基础

（一）引入

我们先来看一个问题。

某学校有N个学生，形成M个俱乐部。每个俱乐部里的学生有着一定相似的兴趣爱好，形成一个朋友圈。一个学生可以同时属于若干个不同的俱乐部。根据“我的朋友的朋友也是我的朋友”这个推论可以得出，如果A和B是朋友，且B和C是朋友，则A和C也是朋友。请编写程序计算最大朋友圈中有多少人。

输入格式:
输入的第一行包含两个正整数N（≤30000）和M（≤1000），分别代表学校的学生总数和俱乐部的个数。后面的M行每行按以下格式给出1个俱乐部的信息，其中学生从1~N编号：

第i个俱乐部的人数Mi（空格）学生1（空格）学生2 … 学生Mi

输出格式:
输出给出一个整数，表示在最大朋友圈中有多少人。

输入样例:
7 4
3 1 2 3
2 1 4
3 5 6 7
1 6
输出样例:
4

我们把这个题抽象化：

现在有n个数，它们按照一定规律合并，形成一些集合，求最大集合的元素个数。

这个合并规律如下：

（1）同一个俱乐部的所有人属于同一个集合；

（2）若两个俱乐部包含同一个人，则这两个俱乐部属于同一个集合。

按照正常做法，我们对于每一个人按照上述规律扫描剩余的人，运行复杂度O（n^很大）。

这个方法显然过不了。

我们重新分析这个题目，主要难点有两个：

第一，对于第一条，同一个俱乐部的所有人如何存储它们所在同一个集合内。

这个很好解决，我们再开一个book数组，对于每一个人i，假设它在cnt集合内，我们标记book[i]=cnt。

如果这样标记，对于第二个合并规律，我们扫描另一个俱乐部的所有人，我们把每一个book[i]都置成要合并到的俱乐部，总复杂度O(nm)。

但这样还是过不了，所以我们考虑把第二个合并步骤的复杂度优化到O(1)，也就是说我们只需要修改一个数就可以修改整个集合。

对于这样的修改方式，我们可以想到一种数据结构——树。

利用树存储每个集合有两个好处：

第一，每棵树只有一个树根（也就是查找树根就可以查找整棵树）

第二，两棵树合并只需要把一棵树的树根接到另一棵上（所以修改的复杂度是O(1))。

大概就是上面这么合并

也就是说我们可以用树优化查找和合并集合的过程，其本质就是对树之间的处理。

又因为，这一类题的根本步骤就是查找与合并，所以我们把这样的数据结构叫做并查集。

---

 

（二）并查集的基本操作

刚才我们已经知道，并查集中合并两个元素实际上是合并他们所在树的祖先。

为了查询这两个点是否在一棵树上，我们首先要找到他们两个点的祖先分别是谁，并判断他们的祖先是否是同一个点即可。

但是因为树会退化成一条链，所以我们在查找祖先时要把下图的第一个树变成第二个树，这是后话。

第二个图的意思就是所有的点都连到根节点上。

我们暂且不提怎么查找一个点的祖先，在我们查找两个点祖先之后，判断他们的祖先是不是同一个点，如果不是同一个点合并即可。

所以我们用fa[x]表示x的父亲，则代码如下：

void u(int a,int b)
{
	int c=f(a),d=f(b);
	if(fa[c]!=fa[d])
	{
		fa[min(c,d)]=fa[max(c,d)];
		return;
	}
}

一定要注意的是，绝对不能让fa[min(a,b]直接等于fa[max(a,b)]，因为这样只合并了两个点，而不是其所在的树。

同时，注意合并时要按照一定的大小顺序，所以这里是按小往大合的。

所以这是合并两个点的方法。

关于查找祖先的方法，有一个非常绝妙的方法：

int f(int o)
{
	if(fa[o]==o)return o;
	return fa[o]=f(fa[o]);
}

第一行非常容易理解，如果o的祖先时自己则它自己就是这棵树的祖先。

第二行我们把它分解成两部分：

（1）f(fa[o])找到fa[o]的祖先。

（2）return fa[o]=f(fa[o]) 将o的父亲置为其父亲的祖先

也就是说 我们成功把一棵近似于一条链的树 弄成了一棵最多只有三层的树。

这个过程换句话说是这样：

（1）递归地找点o每一级祖先o'，直到找到它真正的祖先o1；

（2）回溯，对于每一个o'，将fa[o]置为o1.

也就是说 通过这个步骤，这棵树的每一个点都直接连接到了祖先上

所以回到这章开始的部分，对于那两棵树之间的变化，有一种方法就是上面说的更改每个点与祖先的连接方式，这种方式叫作路径压缩。

其实还有一个稍微好实现一点的方法，对于每个树根，我们记录它所在的树的高度，把这个高度叫作这棵树的秩。

对于每个合并操作（不是路径压缩时的查找操作），我们把秩小的树合到秩大的树上，这样可以保证合出来的新树的秩不大于原来任何一棵树。

若两棵树的秩一样，则新树的秩是原树的秩+1.

这种方法也叫按秩合并。

最后记得一开始初始化，令fa[x]=x。

上个板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int fa[100050];
int f(int o)
{
	if(fa[o]==o)return o;
	return fa[o]=f(fa[o]);
}
void u(int a,int b)
{
	int c=f(a),d=f(b);
	if(c!=d)fa[min(c,d)]=fa[max(c,d)];
	return;
}
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,opt;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&opt);
		if(!opt)u(x,y);
		else
		{
			if(f(x)!=f(y))puts("NO");
			else puts("YES");
		}
	}
	return 0;
}

　　高级用法待填坑。