2019暑假集训 能量项链

题目描述

在MarsMars星球上，每个MarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm，尾标记为rr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nn，则聚合后释放的能量为m \times r \times nm×r×n（MarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mm，尾标记为nn。

需要时，MarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4，44颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jj⊕kk)表示第j,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为：

(44⊕11)=10 \times 2 \times 3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((44⊕11)⊕22)⊕33）=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入格式

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过10001000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<Ni<N时，第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1颗珠子的头标记。第NN颗珠子的尾标记应该等于第11颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数E(E≤2.1 \times (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入 #1复制

4
2 3 5 10

输出 #1复制

710
来源洛谷P1063/NOIP2006tg t1

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很容易看出是一道区间dp，则其子状态为从左端点到最后一次合并的珠子/右端点到最后一次合并的珠子+1
即枚举区间（l,r）内最后一次合并的珠子k，设dp[l][r]表示合并(l,r)可以得到的最大能量，
则dp[l][r]=max(dp[l][k]+dp[k+1][r]+合并代价）
对于题目中长为n的环，我们只需要将其展开为连续的2*n的链，枚举这条链上长为n的区间即可
上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,dp[1050][1050];
struct node
{
    int h,t;
}a[100050];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i].h);
        a[i+n].h=a[i].h;
    }
    for(int i=1;i<2*n;i++)a[i].t=a[i+1].h;
    a[2*n].t=a[1].h;//拆环+处理头尾标记
    for(int len=1;len<n;len++)//枚举区间长度
    {
        for(int l=1;l<2*n-len;l++)//枚举左端点
        {
            int r=l+len;
            for(int k=l;k<r;k++)//枚举断点
                dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+a[l].h*a[k].t*a[r].t);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//找到能量最大长为n的区间
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}