05 2023 档案

模为素数的二次剩余
摘要：*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* 由于 p=2 的情况过于显然，所以文中假定 p 是奇素数。 #### 一、引入 假设 p∤a，二次同余方程的一般形式是 ax2+bx+c≡0(modp)，由于 gcd(p,4a)=1，所以可以表示为 阅读全文
posted @ 2023-05-20 17:52 lrxQwQ 阅读(136) 评论(0) 推荐(0) 编辑
同余方程的基本概念
摘要：*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* #### 一、定义 设整系数多项式 f(x)=anxn+…+a1+a0(1)，讨论是否有整数 x 满足 f(x)≡0(modm)(2)。 我们将这个同余式 (2) 称为**模 m 的同余方程**。如果整数 c 满 阅读全文
posted @ 2023-05-20 07:28 lrxQwQ 阅读(321) 评论(0) 推荐(0) 编辑
x2+y2=z2 的求解及应用
摘要：*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* ### 一、求解 首先声明，我们求的是所有的整数解，即 (x,y,z) 满足 x2+y2=z2 且 x,y,z∈Z。 我们将满足 xyz=0 的所有解 (x,y,z) 称为方程 x2+y2=z2 阅读全文
posted @ 2023-05-20 07:01 lrxQwQ 阅读(412) 评论(0) 推荐(1) 编辑
wilson 定理的运用
摘要：定义 1 定义 vp(n) 是正整数 n 中含有质因数 p 的个数。 一、求解 n!pvp(n!)modp p 是素数，将 [1,n] 所有 p 的倍数的项除掉一些 p 使得该项不再是 p 的倍数，然后再乘起来模 p。 然后我 阅读全文
posted @ 2023-05-18 15:02 lrxQwQ 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑
wilson 定理
摘要：一、wilson 定理 定理 1（Wilson 定理） 假设 p 是素数，r1,r2,…,rp−1 是模 p 的既约剩余系，那么 W(p)=∏i=1p−1ri≡−1(modp)。 阅读全文
posted @ 2023-05-17 23:40 lrxQwQ 阅读(331) 评论(0) 推荐(0) 编辑
既约剩余系表
摘要：~~很难不怀疑作者的精神状态~~ 让我们假设 gcd(a,b)=1，c1<c2<…<cφ(a) 为 1,2,…,a 中所有与 a 互质的数。 |1|2|…|φ(a)−1|φ(a)| | | | | | | |c1| 阅读全文
posted @ 2023-05-17 21:10 lrxQwQ 阅读(171) 评论(0) 推荐(0) 编辑
同余类与剩余系
摘要：来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。 定义 1（同余类） 把全体整数分为若干个两两不相交的集合，使得 (i) 在同一个集合中的任两个数模 m 一定同余； (ii) 在两个不同集合中的任两个数模 m 一定不同余。 每一个这样的集合称为模 m 的同余类。我们以 $r\bmod m 阅读全文
posted @ 2023-05-16 22:01 lrxQwQ 阅读(263) 评论(0) 推荐(0) 编辑
同余的定义以及基本性质学习笔记
摘要：来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。 一、定义 定义 1（同余）设 m≠0。若 m∣a−b，即 a−b=km，则称 m 为模，a 同余于 b 模 m 以及 b 是 a 对模 m 的剩余，记作 a≡b(modm)(1) 否 阅读全文
posted @ 2023-05-16 15:39 lrxQwQ 阅读(642) 评论(0) 推荐(0) 编辑
欧拉函数和欧拉定理
摘要：1. 欧拉函数的定义以及性质 定义一个数 m 的欧拉函数 φ(m) 为 [1,m] 中与 m 互质的整数个数。 首先，明显地， 如果 m 是质数，那么 φ(m)=m−1。 如果 m 是质数，那么 $\varphi(m^k)=(m-1)\times 阅读全文
posted @ 2023-05-15 09:15 lrxQwQ 阅读(112) 评论(0) 推荐(1) 编辑
exLucas 算法学习笔记
摘要：一、问题 给定 n,m,p，求 Cnmmodp，n,m≤1018,p≤106。 p 现在不一定是质数了，该怎么办？ 二、解法 首先，数论题一个常见的做法：如果模数不一定是质数，那就把模数拆成若干个质数的积，然后分别求解，最后用中国剩余定理求解。 1. 拆 阅读全文
posted @ 2023-05-10 23:42 lrxQwQ 阅读(38) 评论(0) 推荐(1) 编辑
Lucas 定理学习笔记
摘要：一、定理 给定 n,m,p，p 是质数，求 Cm+nnmodp，n,m≤1018,p≤106。 这题可以用 Lucas 定理求解。 Lucas 定理： 当 p 是个质数时，$\forall m,n\in N,C_n^m\equiv C_{\lfl 阅读全文
posted @ 2023-05-10 13:28 lrxQwQ 阅读(22) 评论(0) 推荐(1) 编辑
中国剩余定理学习笔记
摘要：给定 n 组非负整数 ai,bi，其中 bi 两两互质，求解关于 x 的方程组的最小非负整数解。 $\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \ ... \ x \ 阅读全文
posted @ 2023-05-09 20:36 lrxQwQ 阅读(27) 评论(0) 推荐(1) 编辑
数学汇总
摘要：### I 数论 #### 一、整除理论 ##### 1. 自然数与整数 ##### 2. 整除的基本知识 ##### 3. 带余除法 ##### 4. 最大公约数理论 1. [计算两个数的最大公约数](https://www.cnblogs.com/qwq-qaq-tat/p 阅读全文
posted @ 2023-05-09 18:00 lrxQwQ 阅读(27) 评论(0) 推荐(1) 编辑
扩展中国剩余定理学习笔记
摘要：给定 n 组非负整数 ai,bi ，求解关于 x 的方程组的最小非负整数解。 $\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \ ... \ x \equiv b_n\ ({ 阅读全文
posted @ 2023-05-09 17:56 lrxQwQ 阅读(21) 评论(0) 推荐(1) 编辑
大步小步算法学习笔记
摘要：一、BSGS 算法 系统来说，它适用于求离散对数，也就是高次同余方程的解。 给定一个整数 p，以及一个整数 b，一个整数 n，现在要求你计算一个最小的非负整数 l，满足 bl≡n(modp)，2≤b,n<p<231,gcd(p,b)=1。 阅读全文
posted @ 2023-05-09 17:04 lrxQwQ 阅读(40) 评论(0) 推荐(1) 编辑
同余方程学习笔记
摘要：一、裴蜀定理 裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 a,b 和它们的最大公约数 d，关于未知数 x 和 y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若 a,b 是整数,且 gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数 x,y,ax+by 都一定是 $ 阅读全文
posted @ 2023-05-09 11:01 lrxQwQ 阅读(74) 评论(0) 推荐(1) 编辑
Treap 学习笔记
摘要：一、Treap Treap 是一种通过旋转操作维护性质的二叉搜索树。 定义详见 要维护的东西还是一样，对于每个节点，要维护它的左右儿子，子树大小，还有权值和随机的优先级（这样才能保证树的高度是 O(log⁡n) 级别的）。 注意：旋转、分裂、伸展什么的都是手段，维持平衡树的 2 个性质才是目的 阅读全文
posted @ 2023-05-02 07:45 lrxQwQ 阅读(20) 评论(0) 推荐(1) 编辑

点击右上角即可分享
微信分享提示