同余方程的基本概念

来自潘承洞、潘承彪《初等数论》,有删改。


一、定义

设整系数多项式 f(x)=anxn++a1+a0(1),讨论是否有整数 x 满足 f(x)0(modm)(2)
我们将这个同余式 (2) 称为模 m 的同余方程。如果整数 c 满足 f(c),那么我们称 c 为同余方程 (2) 的解。
易知,此时同余类 cmodm 中所有整数都是 (2) 的解,所以可以将这整个同余类当成一个解,记为 xc(modm)
我们将满足 (2) 的所有不同剩余类的个数称为同余方程 (2) 的解数
所以,我们只要在一个模 m 的完全剩余系里求解模 m 的同余方程。
显然,模 m 的同余方程的解数至多为 m。可以通过枚举来求。
一定存在 0kn,使 mak 并且 j[k+1,n],maj,那么 k 称为同余方程 (2) 的次数

二、等价变形

等价变形 Is(x) 是整系数多项式,同余方程 (2) 与同余方程 f(x)+m·s(x)0(modm) 等价。
等价变形 IIs(x) 是整系数多项式,同余方程 (2) 与同余方程 f(x)+s(x)s(x)(modm) 等价。
等价变形 III 如果整数 a 满足 gcd(a,m)=1,同余方程 (2) 与同余方程 a·f(x)0(modm) 等价。
利用等价变形 IIII 可以得到以下结论:
定理 1 如果 gcd(an,m)=1 并且 pan1(modm),同余方程 (2) 与同余方程 xn+pan1xn1++pa1x+pa00(modm) 等价。
等价变形 IV 如果整系数多项式 h(x)==0(modm),并且存在整系数多项式 q(x),r(x) 满足 f(x)q(x)h(x)+r(x)(modm),那么同余方程 (2) 与同余方程 r(x)0(modm) 等价。
定理 2 如果 d(modm),同余方程 (2) 有解的必要条件是同余方程 f(x)0(modd) 有解。

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