同余方程的基本概念

来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。

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一、定义

设整系数多项式 $f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_1+a_0(1)$，讨论是否有整数 $x$ 满足 $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}m)(2)$。
我们将这个同余式 $(2)$ 称为模 m 的同余方程。如果整数 $c$ 满足 $f(c)$，那么我们称 $c$ 为同余方程 $(2)$ 的解。
易知，此时同余类 $cmodm$ 中所有整数都是 $(2)$ 的解，所以可以将这整个同余类当成一个解，记为 $x\equiv c(\mathrm{mod}m)$。
我们将满足 $(2)$ 的所有不同剩余类的个数称为同余方程 $(2)$ 的解数。
所以，我们只要在一个模 $m$ 的完全剩余系里求解模 $m$ 的同余方程。
显然，模 $m$ 的同余方程的解数至多为 $m$。可以通过枚举来求。
一定存在 $0\le k\le n$，使 $m\nmid a_k$ 并且 $\mathrm{\forall }j\in [k+1,n],m\mid a_j$，那么 $k$ 称为同余方程 $(2)$ 的次数。

二、等价变形

等价变形 $\mathrm{I}$ 设 $s(x)$ 是整系数多项式，同余方程 $(2)$ 与同余方程 $f(x)+m·s(x)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$ 等价。
等价变形 $\mathrm{II}$ 设 $s(x)$ 是整系数多项式，同余方程 $(2)$ 与同余方程 $f(x)+s(x)\equiv s(x)(\mathrm{mod}m)$ 等价。
等价变形 $\mathrm{III}$ 如果整数 $a$ 满足 $gcd(a,m)=1$，同余方程 $(2)$ 与同余方程 $a·f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$ 等价。
利用等价变形 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$ 可以得到以下结论：
定理 1 如果 $gcd(a_n,m)=1$ 并且 $p{a}_n\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，同余方程 $(2)$ 与同余方程 $x^n+p{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +p{a}_{1}x+p{a}_0\equiv 0(\mathrm{mod}m)$ 等价。
等价变形 $\mathrm{IV}$ 如果整系数多项式 $h(x{)}_{=}^{=}0(\mathrm{mod}m)$，并且存在整系数多项式 $q(x),r(x)$ 满足 $f(x)\equiv q(x)h(x)+r(x)(\mathrm{mod}m)$，那么同余方程 $(2)$ 与同余方程 $r(x)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$ 等价。
定理 2 如果 $d(\mathrm{mod}m)$，同余方程 $(2)$ 有解的必要条件是同余方程 $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}d)$ 有解。