同余方程的基本概念

来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。

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一、定义

设整系数多项式 \(f(x)=a_nx^n+…+a_1+a_0(1)\)，讨论是否有整数 \(x\) 满足 \(f(x)\equiv 0\pmod m(2)\)。
我们将这个同余式 \((2)\) 称为模 m 的同余方程。如果整数 \(c\) 满足 \(f(c)\)，那么我们称 \(c\) 为同余方程 \((2)\) 的解。
易知，此时同余类 \(c\bmod m\) 中所有整数都是 \((2)\) 的解，所以可以将这整个同余类当成一个解，记为 \(x\equiv c\pmod m\)。
我们将满足 \((2)\) 的所有不同剩余类的个数称为同余方程 \((2)\) 的解数。
所以，我们只要在一个模 \(m\) 的完全剩余系里求解模 \(m\) 的同余方程。
显然，模 \(m\) 的同余方程的解数至多为 \(m\)。可以通过枚举来求。
一定存在 \(0\le k\le n\)，使 \(m\not\mid a_k\) 并且 \(\forall j\in [k+1,n],m\mid a_j\)，那么 \(k\) 称为同余方程 \((2)\) 的次数。

二、等价变形

等价变形 \(\mathrm{I}\) 设 \(s(x)\) 是整系数多项式，同余方程 \((2)\) 与同余方程 \(f(x)+m·s(x)\equiv 0\pmod m\) 等价。
等价变形 \(\mathrm{II}\) 设 \(s(x)\) 是整系数多项式，同余方程 \((2)\) 与同余方程 \(f(x)+s(x)\equiv s(x)\pmod m\) 等价。
等价变形 \(\mathrm{III}\) 如果整数 \(a\) 满足 \(\gcd(a,m)=1\)，同余方程 \((2)\) 与同余方程 \(a·f(x)\equiv 0\pmod m\) 等价。
利用等价变形 \(\mathrm{I}\) 和 \(\mathrm{III}\) 可以得到以下结论：
定理 1 如果 \(\gcd(a_n,m)=1\) 并且 \(pa_n\equiv 1\pmod m\)，同余方程 \((2)\) 与同余方程 \(x^n+pa_{n-1}x^{n-1}+…+pa_1x+pa_0\equiv 0\pmod m\) 等价。
等价变形 \(\mathrm{IV}\) 如果整系数多项式 \(h(x)_=^= 0\pmod m\)，并且存在整系数多项式 \(q(x),r(x)\) 满足 \(f(x)\equiv q(x)h(x)+r(x)\pmod m\)，那么同余方程 \((2)\) 与同余方程 \(r(x)\equiv 0\pmod m\) 等价。
定理 2 如果 \(d\pmod m\)，同余方程 \((2)\) 有解的必要条件是同余方程 \(f(x)\equiv 0\pmod d\) 有解。