既约剩余系表

很难不怀疑作者的精神状态
让我们假设 \(\gcd(a,b)=1\)，\(c_1<c_2<…<c_{\varphi(a)}\) 为 \(1,2,…,a\) 中所有与 \(a\) 互质的数。

\(1\)	\(2\)	…	\(\varphi(a)-1\)	\(\varphi(a)\)
\(c_1\)	\(c_2\)	…	\(c_{\varphi(a)-1}\)	\(c_\varphi(a)\)
\(a+c_1\)	\(a+c_2\)	…	\(a+c_{\varphi(a)-1}\)	\(a+c_\varphi(a)\)
\(2a+c_1\)	\(2a+c_2\)	…	\(2a+c_{\varphi(a)-1}\)	\(2a+c_\varphi(a)\)
…	…	…	…	…
\((b-2)a+c_1\)	\((b-2)a+c_2\)	…	\((b-2)a+c_{\varphi(a)-1}\)	\((b-2)a+c_\varphi(a)\)
\((b-1)a+c_1\)	\((b-1)a+c_2\)	…	\((b-1)a+c_{\varphi(a)-1}\)	\((b-1)a+c_\varphi(a)\)

横着看！

容易知道 \(\gcd(a,ja+c_i)=\gcd(a,c_i)=1\)，所以这个表中所有数都与 \(a\) 互质并且小于 \(ab\)。
如果存在 \(d\in[1,a\times b],d\ne\forall c_i+ja\) 并且 \(\gcd(d,a)=1\)，那么 \(d\bmod a\ne 0\)，假设 \(d=ae+f,0<f<a,f\ne \forall c_i\)，由于 \(\gcd(f+ea,a)=1\)，所以 \(\gcd(f,a)=1\)，与 \(c\) 中是 \([1,a]\) 的所有与 \(a\) 互质的数矛盾。
所以这个表里是所有小于 \(ab\) 的与 \(a\) 互质的数。

竖着看！

如果存在 \(0\le j<k<b,c_i+ja,c_i+ka\) 使得 \(c_i+ja\equiv c_i+ka\pmod b\)，那么我们知道 \((k-j)a\equiv 0\pmod b\)，由于 \(\gcd(a,b)=1\)，所以 \(k-j\equiv 0\pmod b\)。由于 \(0<k-j<b\)，所以矛盾。
所以我们知道，\(\forall i,c_i,a+c_i,2a+c_i,…,(b-1)a+c_i\bmod b\) 互不同余。

那么我们就可以知道在 \([1,a\times b]\) 里，只有表中所有数与 \(a\) 互质。那么其中每列互不同余，而且又刚好有 \(b\) 个，所以每一列都是 \(\bmod b\) 的完全剩余系。由于一个模 \(b\) 的完全剩余系中恰有 \(\varphi(b)\) 个与 \(b\) 互质的数，所以 \([1,a\times b]\) 中恰有 \(\varphi(a)\times \varphi(b)\) 个与 \(a\times b\) 互质的数。

总结

每一行是一个模 \(a\) 的既约剩余系，每一列是一个模 \(b\) 的既约剩余系。并且，整个表是一个模 \(ab\) 的既约剩余系。