wilson 定理
一、wilson 定理
定理 1（Wilson 定理） 假设 \(p\) 是素数，\(r_1,r_2,…,r_{p-1}\) 是模 \(p\) 的既约剩余系，那么 \(\operatorname{W}(p)=\prod\limits_{i=1}\limits^{p-1}r_i\equiv -1\pmod p\)。
证明：\(p=2\) 时结论显然成立，现在考虑 \(p\ge 3\) 的情况。由于 \(\gcd(r_i,p)=1\)，所以我们可以知道：对于每个 \(r_i\) 有且仅有一个模 \(p\) 的逆元 \(r_j\)。使得 \(r_i=r_j\) 的充分必要条件是 \(r_i^2\equiv 1\pmod p\)。这说明 \((r_i-1)(r_i+1)\equiv 0\pmod p\)。由于素数 \(p\ge 3\)，所以前式相当于 \(r_i\equiv\pm 1\pmod p\)，并且这两个同余式无法同时成立。所以，在这组模 \(p\) 的既约剩余系中，除了 \(r_i\equiv \pm 1\pmod p\) 的那两个元素之外，必定有逆元 \(r_j\ne r_i\)，所以这些一定是两两配对的。所以我们可以知道一共有 \(r_1\equiv 1\pmod p\)，\(r_{p-1}\equiv -1\pmod p\)，在 \([2,p-2]\) 的所有 \(r_i\) 都可以两两配对，组成 \(\frac{p-1}{2}\) 个 1。所以 \(\prod\limits_{i=1}\limits^{p-1}r_i\equiv 1\times -1\times 1^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p\)。
证毕
二、扩展 wilson 定理
定理 2 （扩展 wilson 定理） 对于任意正整数 \(m\)，设 \(c=\varphi(m)\)，\(r_1,…,r_c\) 是模 \(m\) 的既约剩余系，\(p\) 是任意素数，\(\operatorname{W}(m)=\prod\limits_{i=1}\limits^{c}r_i\equiv\begin{cases}-1\pmod m&m=1,2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\\1\pmod m&\text{otherwise}\end{cases}\)
首先对正整数集进行划分。
引理 假设 \(p\) 是任意奇素数，\(\alpha\) 是任意正整数，如果 \(m\ne 1,2^\alpha,p^\alpha,2p^\alpha\)，那么一定可以被分为 \(m=ab,2<a<b,\gcd(a,b)=1\)。
证明：
因为 \(m\ne 1,2^\alpha,p^\alpha,2p^\alpha\) 时，我们有
\(\text{Case }\mathrm{I}\) \(m\) 没有质因数 2
\(m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=(p_1^{\alpha_1})(p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。
\(\text{Case }\mathrm{II}\) \(m\) 有一个质因数 2
\(m=2p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=2(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。
\(\text{Case }\mathrm{III}\) \(m\) 有多个质因数 2
\(m=2^{\alpha}p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 1,\alpha\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=2^{\alpha}(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。
证毕
证明：分类讨论即可。
\(\text{Case }\mathrm{I}\) \(m=1,2,4\)
自己计算一下，成立。
\(\text{Case }\mathrm{II}\) \(m=2^l,l\ge 3\)
易知当 \(l=1,2\) 时原定理成立。现在讨论 \(l\ge 3\) 的情况。由于 \(\gcd(r_i,2^l)=1\)，所以我们可以知道：对于每个 \(r_i\) 有且仅有一个模 \(2^l\) 的逆元 \(r_j\)。使得 \(r_i=r_j\) 的充分必要条件是 \(r_i^2\equiv 1\pmod {2^l}\)。这说明 \((r_i-1)(r_i+1)\equiv 0\pmod {2^l}\)。注意到 \(\gcd(2,r_i-1)=\gcd(2,r_i+1)=2\) 且 \(\gcd(\frac{r_i-1}{2},\frac{r_i+1}{2})=1\)，得知使得 \(r_i=r_j\) 的充分必要条件是 \(\frac{r_i-1}{2}\equiv 0\pmod {2^{l-2}}\)，或者 \(\frac{r_i+1}{2}\equiv 0\pmod {2^{l-2}}\)，也就是 \(r_i\equiv\pm 1\pmod {2^{l-1}}\) 因此，在这个模 \(2^l\) 的既约剩余系里当且仅当 \(r_i\equiv 1,2^{l-1}-1,2^{l-1}+1,2^l-1\pmod {2^l}\) 时才有可能有 \(r_i=r_j\)。除此之外，必有 \(r_i\ne r_j\)，所以可以两两配对。所以，对于 \(l\ge 3\)，有 \(\operatorname{W}(m)=\prod\limits_{i=1}\limits^c r_i\equiv 1\times (2^{l-1}-1)\times (2^{l-1}+1)\times (-1)\times 1^{\frac{c-4}{2}}\equiv 1\pmod {2^l}\)。
\(\text{Case }\mathrm{II}\) 成立。
\(\text{Case }\mathrm{III}\) \(m=p^l,p\ge 3,l\ge 1\)
由于 \(\gcd(r_i,p^l)=1\)，所以我们可以知道：对于每个 \(r_i\) 有且仅有一个模 \(2^l\) 的逆元 \(r_j\)。使得 \(r_i=r_j\) 的充分必要条件是 \(r_i^2\equiv 1\pmod {p^l}\)。这说明 \((r_i-1)(r_i+1)\equiv 0\pmod {p^l}\)。由于 \(p>2\)，\(p\mid r_i-1,p\mid r_i+1\) 不可能同时成立。所以必有 \(p^l\mid r_i-1\) 或者 \(p^l\mid r_i+1\)，得知使得 \(r_i=r_j\) 的充分必要条件是 \(r_i\equiv\pm1\pmod {p^l}\)。因此，在这个模 \(p^l\) 的既约剩余系里当且仅当 \(r_i\equiv 1,p^l-1\pmod {p^l}\) 时才有可能有 \(r_i=r_j\)。除此之外，必有 \(r_i\ne r_j\)，所以可以两两配对。所以此时有 \(\operatorname{W}(m)=\prod\limits_{i=1}\limits^c r_i\equiv 1\times (-1)\times 1^{\frac{c-2}{2}}\equiv -1\pmod {p^l}\)。
\(\text{Case }\mathrm{III}\) 成立。
现在插播一条通知。我们知道，证明 \(\varphi(m)\) 是积性函数是用这个表。
然后现在我们还要用这个表。我们要证明 \(\operatorname{W}(m)\) 是积性函数。
首先，我们依然有一个 \(\gcd(a,b)=1\) 的前提。表下方的文字已经说明了每一行是一个模 \(a\) 的既约剩余系，每一列是一个模 \(b\) 的既约剩余系。并且，整个表是一个模 \(ab\) 的完全剩余系。那么，整个表的乘积模 \(ab\) 就是 \(\operatorname{W}(ab)\)。同时，每一行的乘积模 \(a\) 是 \(\operatorname{W}(a)\)，一共 \(b\) 行，所以 \(\operatorname{W}(ab)\equiv \operatorname{W}(a)^{\varphi(b)}\pmod a (1)\)。
\(\text{Case }\mathrm{IV}\) \(m=2p^l,p\ge 3,l\ge 1\)
因为 \(\gcd(2,p^l)=1\)，由 \((1)\)，我们可以得到同余方程组
由于 \(\operatorname{W}(p^l)\equiv -1\pmod {p^l},\operatorname{W}(2)\equiv -1\pmod {2},\varphi(p^l)=(p-1)p^{l-1},\varphi(2)=1\) 得到
由于 \(p\) 是奇数，所以 \((p-1)p^{l-1}\) 是偶数。所以，
所以 \(\operatorname{W}(m)\equiv-1\pmod {2p^l}\)
\(\text{Case }\mathrm{IV}\) 成立。
\(\text{Case }\mathrm{V}\) 当 \(m=ab,2\le a<b,\gcd(a,b)=1\) 时，
假设 \(\operatorname{W}(1)\) 到 \(\operatorname{W}(m-1)\) 都符合定理约束，那么由归纳假设，由于 \(ab=m\) 且 \(2\le a<b\)，得到 \(a<b<m\)，所以易知 \(\operatorname{W}(a)\) 和 \(\operatorname{W}(b)\) 也符合定理约束。
因为 \(\gcd(a,b)=1\)，由 \((1)\)，我们可以得到同余方程组
- \(m\) 没有质因数 2，\(m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=(p_1^{\alpha_1})(p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。那么有 \(\operatorname{W}(p_1^{\alpha_1})=-1,2\mid\varphi(p_1^{\alpha_1})\)。
- \(k=2\)，那么 \(m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2},\operatorname{W}(p_2^{\alpha_2})=-1,2\mid\varphi(p_2^{\alpha_2})\)，\[\operatorname{W}(m)\equiv\begin{cases}(-1)^0&\pmod {p_1^{\alpha_1}}\\(-1)^0&\pmod {p_2^{\alpha_2}}\end{cases} \]所以有 \(\operatorname{W}(m)\equiv 1\pmod {m}\)。
- \(k>2\)，那么 \(m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},\operatorname{W}(p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})=1,2\mid\varphi(p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)\[\operatorname{W}(m)\equiv\begin{cases}(-1)^0&\pmod {p_1^{\alpha_1}}\\1^0&\pmod {p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}}\end{cases} \]所以有 \(\operatorname{W}(m)\equiv 1\pmod {m}\)。
- \(k=2\)，那么 \(m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2},\operatorname{W}(p_2^{\alpha_2})=-1,2\mid\varphi(p_2^{\alpha_2})\)，
- \(m\) 有一个质因数 2，\(m=2p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=2(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。那么有 \(\operatorname{W}(2)=-1,2\not\mid\varphi(2),\operatorname{W}(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})=1,2\mid\varphi(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)\[\operatorname{W}(m)\equiv\begin{cases}(-1)^0&\pmod {2}\\1^1&\pmod {p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}}\end{cases} \]所以有 \(\operatorname{W}(m)\equiv 1\pmod {m}\)。
- \(m\) 有多个质因数 2，\(m=2^{\alpha}p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k},k\ge 1,\alpha\ge 2,\alpha_i\ge 1,3\le p_1<p_2<…<p_k\)，可以分解为 \(m=2^{\alpha}(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})\)。那么有 \(\operatorname{W}(2^\alpha)=1,2\mid\varphi(2^\alpha)\)。\[\operatorname{W}(m)\equiv\begin{cases}1^{\varphi(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})}&\pmod {2^\alpha}\\\operatorname{W}(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k})^0&\pmod {p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}}\end{cases} \]由于 \(\operatorname{W}({p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}})\equiv\pm1\pmod {p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}}\)，所以可以理解为\[\operatorname{W}(m)\equiv\begin{cases}1&\pmod {2^\alpha}\\1&\pmod {p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_k^{\alpha_k}}\end{cases} \]所以有 \(\operatorname{W}(m)\equiv 1\pmod {m}\)。
综上，\(\operatorname{W}(m)\equiv 1\pmod {m}\)，也符合定理约束。
由第二数学归纳法知，\(\text{Case }\mathrm{V}\) 成立。
证毕
花了一天终于整理完了~ 好毒瘤啊。看不懂、有错误或者有更简便的做法的话可以联系我。
