一、wilson 定理
定理 1(Wilson 定理) 假设 是素数, 是模 的既约剩余系,那么 。
证明: 时结论显然成立,现在考虑 的情况。由于 ,所以我们可以知道:对于每个 有且仅有一个模 的逆元 。使得 的充分必要条件是 。这说明 。由于素数 ,所以前式相当于 ,并且这两个同余式无法同时成立。所以,在这组模 的既约剩余系中,除了 的那两个元素之外,必定有逆元 ,所以这些一定是两两配对的。所以我们可以知道一共有 ,,在 的所有 都可以两两配对,组成 个 1。所以 。
证毕
二、扩展 wilson 定理
定理 2 (扩展 wilson 定理) 对于任意正整数 ,设 , 是模 的既约剩余系, 是任意素数,
首先对正整数集进行划分。
引理 假设 是任意奇素数, 是任意正整数,如果 ,那么一定可以被分为 。
证明:
因为 时,我们有
没有质因数 2
,可以分解为 。
有一个质因数 2
,可以分解为 。
有多个质因数 2
,可以分解为 。
证毕
证明:分类讨论即可。
自己计算一下,成立。
易知当 时原定理成立。现在讨论 的情况。由于 ,所以我们可以知道:对于每个 有且仅有一个模 的逆元 。使得 的充分必要条件是 。这说明 。注意到 且 ,得知使得 的充分必要条件是 ,或者 ,也就是 因此,在这个模 的既约剩余系里当且仅当 时才有可能有 。除此之外,必有 ,所以可以两两配对。所以,对于 ,有 。
成立。
由于 ,所以我们可以知道:对于每个 有且仅有一个模 的逆元 。使得 的充分必要条件是 。这说明 。由于 , 不可能同时成立。所以必有 或者 ,得知使得 的充分必要条件是 。因此,在这个模 的既约剩余系里当且仅当 时才有可能有 。除此之外,必有 ,所以可以两两配对。所以此时有 。
成立。
现在插播一条通知。我们知道,证明 是积性函数是用这个表。
然后现在我们还要用这个表。我们要证明 是积性函数。
首先,我们依然有一个 的前提。表下方的文字已经说明了每一行是一个模 的既约剩余系,每一列是一个模 的既约剩余系。并且,整个表是一个模 的完全剩余系。那么,整个表的乘积模 就是 。同时,每一行的乘积模 是 ,一共 行,所以 。
因为 ,由 ,我们可以得到同余方程组
由于 得到
由于 是奇数,所以 是偶数。所以,
所以
成立。
当 时,
假设 到 都符合定理约束,那么由归纳假设,由于 且 ,得到 ,所以易知 和 也符合定理约束。
因为 ,由 ,我们可以得到同余方程组
- 没有质因数 2,,可以分解为 。那么有 。
- ,那么 ,所以有 。
- ,那么 所以有 。
- 有一个质因数 2,,可以分解为 。那么有 所以有 。
- 有多个质因数 2,,可以分解为 。那么有 。由于 ,所以可以理解为所以有 。
综上,,也符合定理约束。
由第二数学归纳法知, 成立。
证毕
花了一天终于整理完了~ 好毒瘤啊。看不懂、有错误或者有更简便的做法的话可以联系我。
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