wilson 定理

一、wilson 定理

定理 1（Wilson 定理） 假设 $p$ 是素数，$r_1,r_2,\dots ,r_{p-1}$ 是模 $p$ 的既约剩余系，那么 $\mathrm{W}(p)=\prod _{i=1}^{p-1}{r}_i\equiv -1(\mathrm{mod}p)$。
证明：$p=2$ 时结论显然成立，现在考虑 $p\ge 3$ 的情况。由于 $gcd(r_i,p)=1$，所以我们可以知道：对于每个 $r_i$ 有且仅有一个模 $p$ 的逆元 $r_j$。使得 $r_i=r_j$ 的充分必要条件是 $r_i^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。这说明 $(r_i-1)(r_i+1)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。由于素数 $p\ge 3$，所以前式相当于 $r_i\equiv \pm 1(\mathrm{mod}p)$，并且这两个同余式无法同时成立。所以，在这组模 $p$ 的既约剩余系中，除了 $r_i\equiv \pm 1(\mathrm{mod}p)$ 的那两个元素之外，必定有逆元 $r_j\ne r_i$，所以这些一定是两两配对的。所以我们可以知道一共有 $r_1\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，$r_{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$，在 $[2,p-2]$ 的所有 $r_i$ 都可以两两配对，组成 $\frac{p-1}{2}$ 个 1。所以 $\prod _{i=1}^{p-1}{r}_i\equiv 1\times -1\times 1^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$。
证毕

二、扩展 wilson 定理

定理 2 （扩展 wilson 定理） 对于任意正整数 $m$，设 $c=\phi (m)$，$r_1,\dots ,r_c$ 是模 $m$ 的既约剩余系，$p$ 是任意素数，$\mathrm{W}(m)=\prod _{i=1}^c{r}_i\equiv \{\begin{array}{ll}-1(\mathrm{mod}m)& m=1,2,4,p^{\alpha },2p^{\alpha }\\ 1(\mathrm{mod}m)& \text{otherwise}\end{array}$

首先对正整数集进行划分。

引理 假设 $p$ 是任意奇素数，$\alpha$ 是任意正整数，如果 $m\ne 1,2^{\alpha },p^{\alpha },2p^{\alpha }$，那么一定可以被分为 $m=ab,2<a<b,gcd(a,b)=1$。

证明：

因为 $m\ne 1,2^{\alpha },p^{\alpha },2p^{\alpha }$ 时，我们有

$\text{Case }\mathrm{I}$ $m$ 没有质因数 2
$m=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=(p_1^{{\alpha }_1})(p_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。

$\text{Case }\mathrm{II}$ $m$ 有一个质因数 2
$m=2p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=2(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。

$\text{Case }\mathrm{III}$ $m$ 有多个质因数 2
$m=2^{\alpha }{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 1,\alpha \ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=2^{\alpha }(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。

证毕

证明：分类讨论即可。

$\text{Case }\mathrm{I}$ $m=1,2,4$
自己计算一下，成立。

$\text{Case }\mathrm{II}$ $m=2^l,l\ge 3$
易知当 $l=1,2$ 时原定理成立。现在讨论 $l\ge 3$ 的情况。由于 $gcd(r_i,2^l)=1$，所以我们可以知道：对于每个 $r_i$ 有且仅有一个模 $2^l$ 的逆元 $r_j$。使得 $r_i=r_j$ 的充分必要条件是 $r_i^2\equiv 1(\mathrm{mod}{2}^l)$。这说明 $(r_i-1)(r_i+1)\equiv 0(\mathrm{mod}{2}^l)$。注意到 $gcd(2,r_i-1)=gcd(2,r_i+1)=2$ 且 $gcd(\frac{r_i-1}{2},\frac{r_i+1}{2})=1$，得知使得 $r_i=r_j$ 的充分必要条件是 $\frac{r_i-1}{2}\equiv 0(\mathrm{mod}{2}^{l-2})$，或者 $\frac{r_i+1}{2}\equiv 0(\mathrm{mod}{2}^{l-2})$，也就是 $r_i\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{2}^{l-1})$ 因此，在这个模 $2^l$ 的既约剩余系里当且仅当 $r_i\equiv 1,2^{l-1}-1,2^{l-1}+1,2^l-1(\mathrm{mod}{2}^l)$ 时才有可能有 $r_i=r_j$。除此之外，必有 $r_i\ne r_j$，所以可以两两配对。所以，对于 $l\ge 3$，有 $\mathrm{W}(m)=\prod _{i=1}^c{r}_i\equiv 1\times (2^{l-1}-1)\times (2^{l-1}+1)\times (-1)\times 1^{\frac{c-4}{2}}\equiv 1(\mathrm{mod}{2}^l)$。
$\text{Case }\mathrm{II}$ 成立。

$\text{Case }\mathrm{III}$ $m=p^l,p\ge 3,l\ge 1$
由于 $gcd(r_i,p^l)=1$，所以我们可以知道：对于每个 $r_i$ 有且仅有一个模 $2^l$ 的逆元 $r_j$。使得 $r_i=r_j$ 的充分必要条件是 $r_i^2\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^l)$。这说明 $(r_i-1)(r_i+1)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^l)$。由于 $p>2$，$p\mid r_i-1,p\mid r_i+1$ 不可能同时成立。所以必有 $p^l\mid r_i-1$ 或者 $p^l\mid r_i+1$，得知使得 $r_i=r_j$ 的充分必要条件是 $r_i\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{p}^l)$。因此，在这个模 $p^l$ 的既约剩余系里当且仅当 $r_i\equiv 1,p^l-1(\mathrm{mod}{p}^l)$ 时才有可能有 $r_i=r_j$。除此之外，必有 $r_i\ne r_j$，所以可以两两配对。所以此时有 $\mathrm{W}(m)=\prod _{i=1}^c{r}_i\equiv 1\times (-1)\times 1^{\frac{c-2}{2}}\equiv -1(\mathrm{mod}{p}^l)$。
$\text{Case }\mathrm{III}$ 成立。

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现在插播一条通知。我们知道，证明 $\phi (m)$ 是积性函数是用这个表。
然后现在我们还要用这个表。我们要证明 $\mathrm{W}(m)$ 是积性函数。
首先，我们依然有一个 $gcd(a,b)=1$ 的前提。表下方的文字已经说明了每一行是一个模 $a$ 的既约剩余系，每一列是一个模 $b$ 的既约剩余系。并且，整个表是一个模 $ab$ 的完全剩余系。那么，整个表的乘积模 $ab$ 就是 $\mathrm{W}(ab)$。同时，每一行的乘积模 $a$ 是 $\mathrm{W}(a)$，一共 $b$ 行，所以 $\mathrm{W}(ab)\equiv \mathrm{W}(a{)}^{\phi (b)}(\mathrm{mod}a)(1)$。

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$\text{Case }\mathrm{IV}$ $m=2p^l,p\ge 3,l\ge 1$
因为 $gcd(2,p^l)=1$，由 $(1)$，我们可以得到同余方程组

$$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}\mathrm{W}(p^l{)}^{\phi (2)}& (\mathrm{mod}{p}^l)\\ \mathrm{W}(2{)}^{\phi (p^l)}& (\mathrm{mod}2)\end{array}$$

由于 $\mathrm{W}(p^l)\equiv -1(\mathrm{mod}{p}^l),\mathrm{W}(2)\equiv -1(\mathrm{mod}2),\phi (p^l)=(p-1)p^{l-1},\phi (2)=1$ 得到

$$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}(-1{)}^1& (\mathrm{mod}{p}^l)\\ (-1{)}^{(p-1)p^{l-1}}& (\mathrm{mod}2)\end{array}$$

由于 $p$ 是奇数，所以 $(p-1)p^{l-1}$ 是偶数。所以，

$$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}-1& (\mathrm{mod}{p}^l)\\ 1& (\mathrm{mod}2)\end{array}$$

所以 $\mathrm{W}(m)\equiv -1(\mathrm{mod}2p^l)$
$\text{Case }\mathrm{IV}$ 成立。

$\text{Case }\mathrm{V}$ 当 $m=ab,2\le a<b,gcd(a,b)=1$ 时，
假设 $\mathrm{W}(1)$ 到 $\mathrm{W}(m-1)$ 都符合定理约束，那么由归纳假设，由于 $ab=m$ 且 $2\le a<b$，得到 $a<b<m$，所以易知 $\mathrm{W}(a)$ 和 $\mathrm{W}(b)$ 也符合定理约束。
因为 $gcd(a,b)=1$，由 $(1)$，我们可以得到同余方程组

$$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}\mathrm{W}(a{)}^{\phi (b)}& (\mathrm{mod}a)\\ \mathrm{W}(b{)}^{\phi (a)}& (\mathrm{mod}b)\end{array}$$

1. $m$ 没有质因数 2，$m=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=(p_1^{{\alpha }_1})(p_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。那么有 $\mathrm{W}(p_1^{{\alpha }_1})=-1,2\mid \phi (p_1^{{\alpha }_1})$。
   1. $k=2$，那么 $m=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2},\mathrm{W}(p_2^{{\alpha }_2})=-1,2\mid \phi (p_2^{{\alpha }_2})$，
      $$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}(-1{)}^0& (\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1})\\ (-1{)}^0& (\mathrm{mod}{p}_2^{{\alpha }_2})\end{array}$$
      所以有 $\mathrm{W}(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。
   2. $k>2$，那么 $m=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},\mathrm{W}(p_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})=1,2\mid \phi (p_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$
      $$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}(-1{)}^0& (\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1})\\ 1^0& (\mathrm{mod}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})\end{array}$$
      所以有 $\mathrm{W}(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。
2. $m$ 有一个质因数 2，$m=2p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=2(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。那么有 $\mathrm{W}(2)=-1,2\nmid \phi (2),\mathrm{W}(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})=1,2\mid \phi (p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$
   $$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}(-1{)}^0& (\mathrm{mod}2)\\ 1^1& (\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})\end{array}$$
   所以有 $\mathrm{W}(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。
3. $m$ 有多个质因数 2，$m=2^{\alpha }{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},k\ge 1,\alpha \ge 2,{\alpha }_i\ge 1,3\le p_1<p_2<\dots <p_k$，可以分解为 $m=2^{\alpha }(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$。那么有 $\mathrm{W}(2^{\alpha })=1,2\mid \phi (2^{\alpha })$。
   $$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}{1}^{\phi (p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})}& (\mathrm{mod}{2}^{\alpha })\\ \mathrm{W}(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k}{)}^0& (\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})\end{array}$$
   由于 $\mathrm{W}(p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})\equiv \pm 1(\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})$，所以可以理解为
   $$\mathrm{W}(m)\equiv \{\begin{array}{ll}1& (\mathrm{mod}{2}^{\alpha })\\ 1& (\mathrm{mod}{p}_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k})\end{array}$$
   所以有 $\mathrm{W}(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

综上，$\mathrm{W}(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，也符合定理约束。

由第二数学归纳法知，$\text{Case }\mathrm{V}$ 成立。

证毕

花了一天终于整理完了~ 好毒瘤啊。看不懂、有错误或者有更简便的做法的话可以联系我。