同余类与剩余系

来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。

定义 1（同余类） 把全体整数分为若干个两两不相交的集合，使得
$(i)$ 在同一个集合中的任两个数模 $m$ 一定同余；
$(ii)$ 在两个不同集合中的任两个数模 $m$ 一定不同余。
每一个这样的集合称为模 $m$ 的同余类。我们以 $rmodm$ 表示 $r$ 所属的模 $m$ 的同余类。

容易知道对于正整数 $m$，这样的集合一共有 $m$ 个，分别是 $0modm,1modm,2modm,\dots ,(m-1)modm$。

定义 2（完全剩余系） 一组数 $y_1,y_2,\dots ,y_s$ 称为模 $m$ 的完全剩余系，当且仅当 $s=m$ 且 $y_1,y_2,\dots ,y_s$ 分别来自于模 $m$ 的 $m$ 个不同的同余类。

定义 3（既约同余类） 模 $m$ 的同余类 $rmodm$ 称为模 $m$ 的既约同余类，当且仅当 $(r,m)=1$。模 $m$ 的所有不同既约同余类的个数为 $\phi (m)$，通常称为欧拉函数。

定义 4（既约剩余系） 一组数 $y_1,y_2,\dots ,y_s$ 称为模 $m$ 的既约剩余系，当且仅当 $s=\phi (m)$ 且 $y_1,y_2,\dots ,y_s$ 分别来自于模 $m$ 的 $\phi (m)$ 个不同的既约同余类。