同余的定义以及基本性质学习笔记

来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。

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一、定义

定义 1（同余）设 $m\ne 0$。若 $m\mid a-b$，即 $a-b=km$，则称 $m$ 为模，$a$ 同余于 $b$ 模 $m$ 以及 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余，记作

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m)(1)$$

否则，则称 $a$ 不同余于 $b$ 模 $m$，$b$ 不是 $a$ 模 $m$ 的剩余，记作

$$a\not\equiv b(\mathrm{mod}m)$$

关系式 $(1)$ 称为模 $m$ 的同余式，或简称同余式。
由于 $m\mid a-b$ 等价于 $-m\mid a-b$，所以同余式 $(1)$ 等价于

$$a\equiv b(\mathrm{mod}(-m))$$

因此，我们总可以假定 $m\ge 1$。在同余式 $(1)$ 中，若 $0\le b<m$，则称 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的最小非负剩余；若 $1\le b\le m$，则称 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的最小正剩余。

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对于给定的数 $b$ 和模 $m$，所有同余于 $b$ 模 $m$ 的数就是算术数列

$$b+km,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

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二、判定条件

定理 1 $a$ 同余于 $b$ 模 $m$ 的充分必要条件是 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除后所得的最小非负余数相等。

证明：我们有 $a-b=(q_1-q_2)m+(r_1-r_2)$，所以 $m\mid a-b$ 的充分必要条件是 $m\mid r_1-r_2$，由此及 $0\le |r_1-r_2|<m$ 即得 $r_1=r_2$，证毕。

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三、用处/优势

“同余”就是代表“余数相同”，它可以在数论中有效代替带余除法

$$a=km+b(2)$$

如果 $(2)$ 成立，那么对于任意整系数多项式 $f(x)$ 都有 $m\mid f(a)\iff m\mid f(b)$，使得我们在讨论问题时可以避开 $k$，突出 $a$ 和其余数 $b$ 在讨论被 $m$ 整除的问题中两者起相同的作用。

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四、性质

由基本的整除性质以及带余除法可得：

性质 $\mathrm{I}$ 同余是一种等价关系，即有

$$a\equiv a(\mathrm{mod}m)$$

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m)\iff b\equiv a(\mathrm{mod}m)$$

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m),b\equiv c(\mathrm{mod}m)\Rightarrow a\equiv c(\mathrm{mod}m)$$

性质 $\mathrm{II}$ 同余式可以相加，即若有

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m),c\equiv d(\mathrm{mod}m)(3)$$

则有

$$a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}m)$$

性质 $\mathrm{III}$ 同余式可以相乘，即若 $(3)$ 成立，则有

$$ac\equiv bd(\mathrm{mod}m)$$

由性质 $\mathrm{I}$，性质 $\mathrm{II}$，性质 $\mathrm{III}$ 可以推出：

性质 $\mathrm{IV}$ 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个 $n$ 次的整系数多项式，并且

$$\mathrm{\forall }i\in [0,n],a_i\equiv b_i(\mathrm{mod}m)(4)$$

那么，若

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$$

则

$$f(a)\equiv g(b)(\mathrm{mod}m)(5)$$

定义 2 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个 $n$ 次的整系数多项式，并且满足 $(4)$，那么称多项式 $f(x)$ 同余于多项式 $g(x)$ 模 $m$，记做

$$f(x{)}_{=}^{=}g(x)(\mathrm{mod}m)(6)$$

（其实这里的四条杠应该是均匀的，但是我打不出来）。
当满足式 $(5)$ 时，称多项式 $f(x)$ 等价于多项式 $g(x)$ 模 $m$，式 $(5)$ 为模 $m$ 的恒等同余式。
注意 $(5)$ 不一定能推出 $(4)$，比如 $\mathrm{\forall }x\in Z$，多项式

$$x(x-1)\dots x(x-m+1)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$

但是其 $x^m$ 次项系数为 $1$，模 $m$ 不余 $0$。

下面是一些涉及模数的性质。

性质 $\mathrm{V}$ 设 $d\ge 1,d\mid m$，那么，若同余式 $(1)$ 成立，则

$$a\equiv b(\mathrm{mod}d)$$

性质 $\mathrm{VI}$ 设 $d\ne 0$，那么，若同余式 $(1)$ 成立，则

$$da\equiv db(\mathrm{mod}|d|m)$$

注意同余式两边不能直接相约，比如 $6\times 3\equiv 6\times 8(\mathrm{mod}10)$，但是 $3\not\equiv 8(\mathrm{mod}10)$。

性质 $\mathrm{VII}$ 同余式

$$ca\equiv cb(\mathrm{mod}m)(7)$$

等价于

$$a\equiv b(\mathrm{mod}\frac{m}{(c,m)})$$

即同余式两边可以同时约去 $c$。
证明：同余式 $(7)$ 即 $m\mid c(a-b)$，这等价于

$$\frac{m}{(c,m)}\mid \frac{c}{(c,m)}(a-b)$$

由于 $(\frac{m}{(c,m)},\frac{c}{(c,m)})=1$，所以上式等价于

$$\frac{m}{(c,m)}\mid a-b$$

证毕

性质 $\mathrm{VIII}$ 若 $m\ge 1,(a,m)=1$，则存在 $c$ 使得

$$ca\equiv 1(\mathrm{mod}m)(8)$$

我们把 $c$ 称为 $a$ 对模 $m$ 的逆，记做 $a^{-1}(\mathrm{mod}m)$ 或 $a^{-1}$。
证明
容易知道，$a^{-1}$ 不唯一，但是 $a^{-1}modm$ 唯一。此外，易知

$$(a^{-1},m)=1\mathrm{以}\mathrm{及}(a^{-1}{)}^{-1}\equiv a(\mathrm{mod}m)$$

性质 $\mathrm{IX}$ 同余式组

$$\mathrm{\forall }j\in [1,k],a\equiv b(\mathrm{mod}{m}_j)$$

同时成立的充分必要条件是

$$a\equiv b(\mathrm{mod}[m_1,m_2,\dots ,m_k])$$