扩展中国剩余定理学习笔记

给定 $n$ 组非负整数 $a_{i}, b_{i}$ ，求解关于 $x$ 的方程组的最小非负整数解。
${\begin{cases} x \equiv b_{1} (m o d a_{1}) \\ x \equiv b_{2} (m o d a_{2}) \\ . . . \\ x \equiv b_{n} (m o d a_{n}) \end{cases}$

首先我们看一下只有 1 个方程的情况：
$x \equiv b_{1} (m o d a_{1})$
那么 $x$ 就是 $b_{1} mod a_{1}$ 。

然后是 2 个方程的情况：
${\begin{cases} x \equiv b_{1} (m o d a_{1}) \\ x \equiv b_{2} (m o d a_{2}) \end{cases}$
可以改写成 ${\begin{cases} x = b_{1} + X \times a_{1} \\ x = b_{2} + Y \times a_{2} \end{cases}$ 。
然后就知道 $b_{1} + X \times a_{1} = b_{2} + Y \times a_{2}$ 。所以 $a_{1} \times X + a_{2} \times (- Y) = b_{2} - b_{1}$ 。
这个可以用 exgcd 求。具体方法不赘述。
然后求出 $X$ 的一个解 $X_{0}$ ，然后就知道 $X$ 的通解 $X = X_{0} + k \times \frac{(b_{2} - b_{1}) \times a_{2}}{gcd (a_{1}, a_{2})}$ 。然后令 $p = \frac{(b_{2} - b_{1}) \times a_{2}}{gcd (a_{1}, a_{2})}$ ，就可以求出 $X$ 的最小正解 $X_{1} = (X_{0} mod p + p) mod p$ 。此时新的 $A = lcm (a_{1}, a_{2})$ ， $B = (X_{1} \times a_{1} + b_{1}) mod A$ 。

然后是多个方程的情况：
每 2 个合并成 1 个，直到只剩下一个同余方程。时间复杂度 $O (n \log w)$ ，其中 $w$ 是值域。

inline ll lcm(ll a,ll b){
	return a*b/__gcd(a,b);
}
inline void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b){
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(y,x,b,a%b);y-=a/b*x;
}
ll n,A,B;
int main(){
	n=rd();A=rd();B=rd();
	for(ll i=1,a,b,x,y;i<n;i++){
		a=rd();b=rd();
		ll g=__gcd(a,A),mod=A/g;
		exgcd(x,y,a,A);
		x=((x*(B-b)/g)%mod+mod)%mod;
		A=lcm(a,A);
		B=(a*x+b)%A;
	}
	printf("%lld",(long long)(B%A));
	return 0;
}