大步小步算法学习笔记

一、BSGS 算法

系统来说，它适用于求离散对数，也就是高次同余方程的解。

给定一个整数 $p$，以及一个整数 $b$，一个整数 $n$，现在要求你计算一个最小的非负整数 $l$，满足 $b^l\equiv n(\mathrm{mod}p)$，$2\le b,n<p<2^{31},gcd(p,b)=1$。

首先，我们发现 $l\in [0,p-1]$，而且所有 $i\in [0,p-1],b^i$ 不具有单调性，而且有可能所有 $i\in [0,p-1],b^i$ 互不相同。所以有一个朴素做法：计算出所有的 $i\in [0,p-1],b^i$。时间复杂度 $O(p)$，不能通过此题。

考虑用哈希处理。我们将 $p$ 分成若干块。首先我们令 $s$ 为 $\lceil \sqrt{p}\rceil$，预处理出 $b^0,b^1,\dots ,b^{s-1}$ 的所有值，扔进一个哈希表 $a$ 里。然后对于 $\mathrm{\forall }i\in [0,p-1]$，一定可以表示为 $i=u\times s+v$，其中 $u,v\in [0,s-1]$，所以 $b^i=(b^s{)}^u\times b^v$。那么我们把所有的 $b^v$ 扔进了 $a$，再枚举 $u$ 的值进行查询就可以了。

用 map 实现的话，时间复杂度是 $O(\sqrt{p}\times \log p)$，可以通过此题。

map<ll,ll>a;
ll p,b,s,v,w=1,x=1;
int main(){
	p=read();b=read();v=read();
	s=sqrt(p)+1;
	for(ll i=0;i<s;i++){
		if(!a[v])a[v]=i+1;
		v=v*b%p;x=x*b%p;
	}
	for(ll i=1;i<=s;i++){
		w=w*x%p;
		if(a[w]){
			cout<<i*s-a[w]+1<<'\n';
			return 0;
		}
	}
	cout<<"no solution\n";
	return 0;
}

当然更优复杂度是用 gp_hash_table 实现的，时间复杂度 $O(\sqrt{p})$。

#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
gp_hash_table<ll,ll>a;

二、exBSGS 算法

如果 $p$ 不一定与 $b$ 互质怎么办？

那我们努力使得 $b^l\equiv n(\mathrm{mod}p)$ 的 $b^l$ 与 $p$ 互质。我们令 $g=gcd(b,p)$，然后我们将 $p$ 反复除以 $g$，使得 $gcd(b,p^{\prime })=1$。假设我们一共除了 $cnt$ 次。如果在除以 $g$ 的过程中得出了结果，直接返回。否则结果一定大于 $cnt$。然后我们知道如果 $g\mid a,g\mid b,g\mid c$，那么 $a\equiv b(\mathrm{mod}c)$ 等价于 $\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mathrm{mod}\frac{c}{g})$。所以，原问题 $b^l\equiv n(\mathrm{mod}p)$ 可以转化为 $(\frac{b}{g}{)}^{cnt}\times b^{l-cnt}\equiv \frac{n}{g^{cnt}}(\mathrm{mod}\frac{p}{g^{cnt}})$ 。那么我们发现原问题有解的必要条件之一是 $g^{cnt}|n$。然后我们得到的式子中，$(\frac{b}{g}{)}^{cnt}$ 是一个整系数，并且 $gcd(b,\frac{p}{g^{cnt}})=1$，所以可以用 BSGS 求解 $l-cnt$ 的最小值。程序里 BSGS 的 $a,b,p,c$ 分别代表 $b,(\frac{b}{g}{)}^{cnt},\frac{p}{g^{cnt}},\frac{n}{g^{cnt}}$，然后 $qwq$ 代表解，也就是 BSGS 求出来的 $l-cnt$ 的最小值，或者 $-1$ 代表无解。时间复杂度 $O(\sqrt{p})$。

gp_hash_table<ll,ll>q;
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p,ll c){
	q.clear();
	ll u=1,v=b,w=c,s=sqrt(p)+1;
	for(ll i=0;i<s;i++){
		q[v]=i+1;
		v=v*a%p;u=u*a%p;
	}
	for(ll i=1;i<=s;i++){
		w=w*u%p;
		if(q[w])return i*s-q[w]+1;
	}
	return -1;
}
inline ll exBSGS(ll a,ll b,ll p){
	a%=p;b%=p;
	if(p==1||b==1)return 0;
	ll cnt=0,g,ax=1,qwq;
	while((g=__gcd(a,p))!=1){
		if(b%g)return -1;
		p/=g;cnt++;b/=g;
		ax=ax*(a/g)%p;
		if(ax==b)return cnt;
	}
	return ((qwq=BSGS(a,b,p,ax))==-1)?-1:cnt+qwq;
}

三、例题

1. P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS
2. P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS
3. P2485 [SDOI2011]计算器
4. P3306 [SDOI2013] 随机数生成器
5. MOD - Power Modulo Inverted
6. P4454 [CQOI2018]破解D-H协议
7. [ABC270G] Sequence in mod P
8. P4884 多少个 1？
9. P4861 按钮