大步小步算法学习笔记
一、BSGS 算法
系统来说，它适用于求离散对数，也就是高次同余方程的解。
给定一个整数 \(p\)，以及一个整数 \(b\)，一个整数 \(n\)，现在要求你计算一个最小的非负整数 \(l\)，满足 \(b^l \equiv n \pmod p\)，\(2\le b,n < p<2^{31},\gcd(p,b)=1\)。
首先，我们发现 \(l\in [0,p-1]\)，而且所有 \(i\in[0,p-1],b^i\) 不具有单调性，而且有可能所有 \(i\in[0,p-1],b^i\) 互不相同。所以有一个朴素做法：计算出所有的 \(i\in[0,p-1],b^i\)。时间复杂度 \(O(p)\)，不能通过此题。
考虑用哈希处理。我们将 \(p\) 分成若干块。首先我们令 \(s\) 为 \(\lceil\sqrt p\rceil\)，预处理出 \(b^0,b^1,…,b^{s-1}\) 的所有值，扔进一个哈希表 \(a\) 里。然后对于 \(\forall i\in [0,p-1]\)，一定可以表示为 \(i=u\times s+v\)，其中 \(u,v\in [0,s-1]\)，所以 \(b^i=(b^s)^u\times b^v\)。那么我们把所有的 \(b^v\) 扔进了 \(a\)，再枚举 \(u\) 的值进行查询就可以了。
用 map 实现的话，时间复杂度是 \(O(\sqrt p\times \log p)\)，可以通过此题。
map<ll,ll>a;
ll p,b,s,v,w=1,x=1;
int main(){
p=read();b=read();v=read();
s=sqrt(p)+1;
for(ll i=0;i<s;i++){
if(!a[v])a[v]=i+1;
v=v*b%p;x=x*b%p;
}
for(ll i=1;i<=s;i++){
w=w*x%p;
if(a[w]){
cout<<i*s-a[w]+1<<'\n';
return 0;
}
}
cout<<"no solution\n";
return 0;
}
当然更优复杂度是用 gp_hash_table 实现的，时间复杂度 \(O(\sqrt p)\)。
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
gp_hash_table<ll,ll>a;
二、exBSGS 算法
如果 \(p\) 不一定与 \(b\) 互质怎么办？
那我们努力使得 \(b^l \equiv n \pmod p\) 的 \(b^l\) 与 \(p\) 互质。我们令 \(g=\gcd(b,p)\)，然后我们将 \(p\) 反复除以 \(g\)，使得 \(\gcd(b,p')=1\)。假设我们一共除了 \(cnt\) 次。如果在除以 \(g\) 的过程中得出了结果，直接返回。否则结果一定大于 \(cnt\)。然后我们知道如果 \(g\mid a,g\mid b,g\mid c\)，那么 \(a\equiv b\pmod{c}\) 等价于 \(\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}\pmod{\frac{c}{g}}\)。所以，原问题 \(b^l \equiv n \pmod p\) 可以转化为 \((\frac{b}{g})^{cnt}\times b^{l-cnt}\equiv \frac{n}{g^{cnt}}\pmod{\frac{p}{g^{cnt}}}\) 。那么我们发现原问题有解的必要条件之一是 \(g^{cnt}|n\)。然后我们得到的式子中，\((\frac{b}{g})^{cnt}\) 是一个整系数，并且 \(\gcd(b,\frac{p}{g^{cnt}})=1\)，所以可以用 BSGS 求解 \(l-cnt\) 的最小值。程序里 BSGS 的 \(a,b,p,c\) 分别代表 \(b,(\frac{b}{g})^{cnt},\frac{p}{g^{cnt}},\frac{n}{g^{cnt}}\)，然后 \(qwq\) 代表解，也就是 BSGS 求出来的 \(l-cnt\) 的最小值，或者 \(-1\) 代表无解。时间复杂度 \(O(\sqrt p)\)。
gp_hash_table<ll,ll>q;
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p,ll c){
q.clear();
ll u=1,v=b,w=c,s=sqrt(p)+1;
for(ll i=0;i<s;i++){
q[v]=i+1;
v=v*a%p;u=u*a%p;
}
for(ll i=1;i<=s;i++){
w=w*u%p;
if(q[w])return i*s-q[w]+1;
}
return -1;
}
inline ll exBSGS(ll a,ll b,ll p){
a%=p;b%=p;
if(p==1||b==1)return 0;
ll cnt=0,g,ax=1,qwq;
while((g=__gcd(a,p))!=1){
if(b%g)return -1;
p/=g;cnt++;b/=g;
ax=ax*(a/g)%p;
if(ax==b)return cnt;
}
return ((qwq=BSGS(a,b,p,ax))==-1)?-1:cnt+qwq;
}
