同余方程学习笔记

一、裴蜀定理

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 $a,b$ 和它们的最大公约数 $d$，关于未知数 $x$ 和 $y$ 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若 $a,b$ 是整数,且 $gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数 $x,y,ax+by$ 都一定是 $d$ 的倍数。特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax+by=d$ 成立。
它的一个重要推论是：$a,b$ 互质的充分必要条件是存在整数 $x,y$ 使 $ax+by=1$。

证明：如果 $gcd(a,b)>1$ ，两边同时除以 $gcd(a,b)$ 即可。

只需考虑 $gcd(a,b)=1$ 的情况，那么此时考虑集合 $A=0,a,2\times a,\dots \dots ,(b-1)\times a$，共 $b$ 个数。

若 $\mathrm{\exists }i,j\in N,0\le i<j\le b-1,i\times a\equiv j\times a(\mathrm{mod}b)$ ,则 $b|(j-i)\times a$ ，因为$gcd(a,b)=1$，所以$b|(j-i)$，而$b<j-i$，所以此情况不成立。

所以 $A$ 中的 $b$ 个数 $modb$ 互不同余，故 $\mathrm{\exists }u\in N,a\times u\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，则一定 $\mathrm{\exists }v\in N$，满足 $b\times v+a\times u=1$。□

二、同余方程的基本求解方法

首先将关于 $x$ 的同余方程 $a\times x\equiv c(\mathrm{mod}b)$，变成一个二元一次不定方程 $a\times x+b\times y=c$。然后由于裴蜀定理，我们一定可以求出来一组满足 $a\times x+b\times y=gcd(a,b)$ 的解 $x_0^{\prime },y_0^{\prime }$。

然后如果 $c$ 是 $gcd(a,b)$ 的整数倍，那么我们直接将 $x_0^{\prime },y_0^{\prime }$ 乘以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 就可以得到原方程的一组特解 $x_0,y_0$ 了。否则原方程无解。

接下来就是通解。容易知道是 $\{\begin{array}{l}x=x_0+k{\displaystyle \frac{a}{gcd(a,b)}}\\ y=y_0-k{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,b)}}\end{array}$。

所以我们的问题就转化为了求方程 $a\times x+b\times y=gcd(a,b)$ 的一组特解。

三、exgcd 算法

先给出代码。

inline void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b){
    if(!b){x=1;y=0;return;}
    exgcd(y,x,b,a%b);y-=a/b*x;
}

考虑一个让 $a,b$ 辗转相除的过程。注意 $a,b$ 会变，但是 $gcd(a,b)$ 不变，设为 $g$。

首先我们递归到底层，$b=0$，那么此时 $a=g$，那么我们就知道了一组特解：$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$，因为 $g\times 1+0\times 0=g$。

然后是回溯，假设我们已经求出方程 $(amodb)\times x+b\times y=g$ 的一组特解 $\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$ 了，那怎么求 $a\times x+b\times y=g$ 的一组特解呢？

首先 $(amodb)\times x_0+b\times y_0=g$，所以 $(a-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor )\times x_0+b\times y_0=g$，所以得到 $a\times x_0+b\times (y_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times x_0)=g$，所以 $a\times x+b\times y=g$ 的一组特解是 $\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times x_0\end{array}$ 。

然后因为辗转相除，所以每一层到下一层时 $(a,b)\to (b,amodb)$，所以 $(x,y)\to (y,x)$。

然后我们就求出了方程 $a\times x+b\times y=gcd(a,b)$ 的一组特解了。时间复杂度 $O(\log max\{a,b\})$。

四、用途

1. 求解二元一次不定方程的整数通解

2. 求解同余方程

3. 求逆元

   其实就是要求同余方程 $a\times x\equiv 1(\mathrm{mod}b)$ 的最小正整数解。

   为什么不用快速幂+费马小定理求呢？因为时间复杂度同样是 $O(\log b)$ 的情况下，exgcd 的使用没有限制，而用快速幂+费马小定理要求 $b$ 必须得是质数。