Tarjan 算法学习笔记

（绝大部分都是贺的，来自 OI-WIKI 和洛谷题解，自己抄一遍印象深刻一点，部分代码未编译，不保证正确性，但大体是对的）

一、DFS 生成树

注意可能有多棵，因为图可能不联通。

树边（tree edge）：示意图中以黑色边表示，每次搜索找到一个还没有访问过的结点的时候就形成了一条树边。
反祖边（back edge）：示意图中以红色边表示（即），也被叫做回边，即指向祖先结点的边。
横叉边（cross edge）：示意图中以蓝色边表示（即），它主要是在搜索的时候遇到了一个已经访问过的结点，但是这个结点 并不是 当前结点的祖先。
前向边（forward edge）：示意图中以绿色边表示（即），它是在搜索的时候遇到子树中的结点的时候形成的。

二、强连通分量

1.定义：

强连通：一个有向图，其任意一个节点都可以到达另一个节点。

强连通分量：一个有向图的极大强连通子图。

2.计算方法：

从一个节点开始，进行 DFS ，如果当前边指向一个已经经过的点，如果这条边是返祖边，则一定可以形成一个强连通分量。

3.数组含义：

dfn_x 代表 x 号节点的 dfn 序。

in_x 代表 x 号节点目前在不在栈里。

low_x 代表 x 号节点所在的强联通分量里 dfn 最小的节点的 dfn 是多少。

st_t 代表存储从搜索树上目前遍历到且不属于任何一个强连通分量的 t 个点的栈。

scc_x 代表 x 号节点所属的强连通分量的编号。

4.代码实现

void tarjan( int x){
　　dfn[x]=low[x]=++cnt; //计算 dfn 序，而且一开始只有 x ，所以 low = dfn 
　　in[x]=1;st[++t]=x; //入栈
　　 for ( int i=h[x];i;i=nxt[i])
　　 　 if (!dfn[to[i]]){ //没有遍历过，直接 dfs ，再更新 low 
　　　　 　tarjan(to[i]);
　　　　 　low[x]=min(low[x],low[to[i]]);
　　 　} else if (in[to[i]])low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]); // to[i] 可能是 x 的祖先
　  if (low[x]==dfn[x]){
　  　　tot++; //新的强连通分量
　　　　 while (st[t+1]!=x){
　　　　　　scc[st[t]]=tot;
　　　　　　in[st[t--]]=0;
　　　　}
　　}
}

三、割点

1.定义：

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点。

2.计算方法：

① 对于 DFS 树的树根，它是割点当且仅当它有两个及以上的子树。

② 对于其它任意一个点，当且仅当以它为根的子树内没有向其它子树或祖先连边。

3.数组含义：

dfn_x 代表 x 号节点的 dfn 序。

low_x 代表以 x 号节点为根的子树里不经过 x 的路径能到达的 dfn 最小的节点的 dfn 是多少。

cut_x 代表 x 号节点是不是割点。

4.代码实现：

void tarjan( int x, int fa, int rt){
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    int c=0; //统计当 x=rt 时 x 的子树个数
    for ( int i=h[x];i;i=nxt[i]){
        if (!dfn[to[i]]){
            tarjan(to[i],x,rt);
            low[x]=min(low[x],low[to[i]]);
            if (low[to[i]]>=dfn[x]&&x!=rt)cut[x]=1; //条件②
            if (x==rt)c++;
        } else if (to[i]!=fa)low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]); //更新 low
    if (c>=2&&x==rt)cut[x]=1; //条件①
}

三、割边

1.定义：对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

2.计算方法：

首先，容易知道割边一定是 DFS 树的树边。记录 DFS 树上指向 x 的边，它是割边当且仅当以 x 为根的子树内没有向其它子树或祖先连边。

不用考虑 x 是否是根节点。

注意因为用链式前向星存图，所以一次只能存一个方向的边，所以可以让 cnt 从 2 开始，如果当前边编号为 i ，则其反向边编号为 i^1 。

3.数组含义：

dfn_x 代表 x 号节点的 dfn 序。

low_x 代表以 x 号节点为根的子树里不经过搜索树上指向 x 的那条边的路径能到达的 dfn 最小的节点的 dfn 是多少。

cut_i 代表 i 号边是不是割边。

4.代码实现：

void tarjan( int x, int van){ //记录连向 x 的边（请忽略变量名） 
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    for ( int i=h[x];i;i=nxt[i])
        if (!dfn[to[i]]){
            tarjan(to[i],i);
            low[x]=min(low[x],low[to[i]]);
            if (dfn[x]<low[to[i]])cut[i]=cut[i^1]=1; 条件，注意是 > 不是 >= ，因为研究的是从 x 出发的边 i 
　　　　　　　　　　　　　　　//如果 dfn[x]=low[to[i]] ，则说明下面有点能连回 x ,那么去掉 i 后以 to[i] 为根的子树与 x 仍联通， i 不为割边
        } else if (i!=(van^1))low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]); //更新 low
}

四、点双连通分量（代码、计算方法是贺洛谷 UID=434929 的）

1.定义：

点双连通：在一张连通的无向图中，对于两个点 u 和 v ，如果无论删去哪个点（只能删去一个，且不能删 u 和 v 自己）都不能使它们不连通，我们就说 u 和 v 点双连通。

点双连通不具有传递性。

性质：两个不同的点双连通分量最多有一个公共点，否则它们可以合成为一个更大的点双连通分量。

2.计算：

对于一个点双，它在 DFS 搜索树中 dfn

如果该点双不包含割点或树根，它一定可以继续拓展。所以我们在点双中任取一个割点或者树根。

①如果该点是树根，它的 dfn

②当这个点是割点时，它所属的点双必定不可以向它的父亲方向包括更多点，因为一旦回溯，它就成为了新的子图的一个割点，不是点双。所以它应该归到其中一个或多个子树里的点双中。

3.数组含义：

dfn_x 代表 x 号节点的 dfn 序。

low_x 代表 x 号节点所在的点双联通分量里 dfn 最小的节点的 dfn 是多少。

st_t 代表存储从搜索树上目前遍历到且还可以属于其它点双连通分量的 t 个点的栈。

bcc 代表 x 号节点所属的点双连通分量的编号（这里用 ans 记录了）。

4.代码实现：

void tarjan( int x, int fa){
    int son=0; //为孤点或根节点统计子树个数 
    dfn[st[++t]=x]=low[x]=++cnt; //进栈、初始化 
    for ( int i=h[x];i;i=nxt[i])
        if (!dfn[to[i]]){
            son++;tarjan(to[i],x);
            low[x]=min(low[x],low[to[i]]);
            if (low[to[i]]>=dfn[x]){ //情况②， x 是割点，则有一个从 x 开始的点双连通分量 
                bcc++; //点双个数增加 
                while (st[t+1]!=to[i])ans[bcc].push_back(st[t--]); //退栈、记录 
                ans[bcc].push_back(x);
            }
        } else if (to[i]!=fa)low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]); //更新 low 
    if (fa==0&&son==0)ans[++bcc].push_back(x); //情况①，处理孤点或根节点统计子树个数 
}

五、边双连通分量（代码、计算方法是贺洛谷 UID=425694的）

1.定义：

在一张连通的无向图中，对于两个点 u 和 v，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 u 和 v 边双连通。

边双连通具有传递性，即，若 x、y 边双连通，x、z 边双连通，则 y、z 边双连通。

2.计算方法：

把图中所有割边去掉就行。因为如果一个边双有割边，去掉之后一定不连通。

3.数组含义：

dfn_x 代表 x 号节点的 dfn 序。

low_x 代表以 x 号节点为根的子树里不经过搜索树上指向 x 的那条边的路径能到达的 dfn 最小的节点的 dfn 是多少。

cut_i 代表 i 号边是不是割边。

dcc_x 记录了 x 所在的边双连通分量的编号。

4.代码实现：

void dfs(int x,int num){
    dcc[x]=num; //记录所在变双编号 
    ans[num].push_back(x);
    for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
        if(!dcc[to[i]]&&!cut[i])dfs(to[i],num);
    //如果没被填色并且连的边不是割边就标记为同一块 
}
void tarjan(int x,int van){ //求割边的板子 
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
        if (!dfn[to[i]]){
            tarjan(to[i],i);
            if(dfn[x]<low[to[i]])cut[i]=cut[i^1]=1; 
        }else if(i!=(van^1))low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]); //更新 low
}

六、最近公共祖先的离线求法

最近公共祖先的离线求法，最后那一段

七、动态树

听说好像也是 Robert E. Tarjan 发明的，但是本蒟蒻不会。

八、结语

本蒟蒻贺了一晚上，希望大家能看懂（当然我这个主要还是为了自己整理），记得给原作者点赞。

所有的 Tarjan 主要就是维护 dfn 和 low 数组，再用 st 记录一下值。本质都很像，学会举一反三。

posted @ 2023-04-08 16:19 lrxQwQ 阅读(52) 评论(0) 编辑收藏举报

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