摘要：
### $\mathrm{I}$ 数论 #### 一、整除理论 ##### 1. 自然数与整数 ##### 2. 整除的基本知识 ##### 3. 带余除法 ##### 4. 最大公约数理论 1. [计算两个数的最大公约数](https://www.cnblogs.com/qwq-qaq-tat/p 阅读全文
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*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* 由于 $p=2$ 的情况过于显然，所以文中假定 $p$ 是奇素数。 #### 一、引入 假设 $p\not\mid a$，二次同余方程的一般形式是 $ax^2+bx+c\equiv 0\pmod p$，由于 $\gcd(p,4a)=1$，所以可以表示为 阅读全文
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*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* #### 一、定义 设整系数多项式 $f(x)=a_nx^n+…+a_1+a_0(1)$，讨论是否有整数 $x$ 满足 $f(x)\equiv 0\pmod m(2)$。 我们将这个同余式 $(2)$ 称为**模 m 的同余方程**。如果整数 $c$ 满 阅读全文
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*来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。* ### 一、求解 首先声明，我们求的是所有的整数解，即 $(x,y,z)$ 满足 $x^2+y^2=z^2$ 且 $x,y,z\in\mathbb{Z}$。 我们将满足 $xyz=0$ 的所有解 $(x,y,z)$ 称为方程 $x^2+y^2=z^2$ 阅读全文
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定义 1 定义 $v_p(n)$ 是正整数 $n$ 中含有质因数 $p$ 的个数。 一、求解 $\frac{n!}{p^{v_p(n!)}}\bmod p$ $p$ 是素数，将 $[1,n]$ 所有 $p$ 的倍数的项除掉一些 $p$ 使得该项不再是 $p$ 的倍数，然后再乘起来模 $p$。 然后我 阅读全文
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一、wilson 定理 定理 1（Wilson 定理） 假设 $p$ 是素数，$r_1,r_2,…,r_{p-1}$ 是模 $p$ 的既约剩余系，那么 $\operatorname{W}(p)=\prod\limits_{i=1}\limits^{p-1}r_i\equiv -1\pmod p$。 阅读全文
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~~很难不怀疑作者的精神状态~~ 让我们假设 $\gcd(a,b)=1$，$c_1<c_2<…<c_{\varphi(a)}$ 为 $1,2,…,a$ 中所有与 $a$ 互质的数。 |$1$|$2$|…|$\varphi(a)-1$|$\varphi(a)$| | | | | | | |$c_1$| 阅读全文
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来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。 定义 1（同余类） 把全体整数分为若干个两两不相交的集合，使得 $(i)$ 在同一个集合中的任两个数模 $m$ 一定同余； $(ii)$ 在两个不同集合中的任两个数模 $m$ 一定不同余。 每一个这样的集合称为模 $m$ 的同余类。我们以 $r\bmod m 阅读全文
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来自潘承洞、潘承彪《初等数论》，有删改。 一、定义 定义 1（同余）设 $m\ne 0$。若 $m\mid a-b$，即 $a-b=km$，则称 $m$ 为模，$a$ 同余于 $b$ 模 $m$ 以及 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余，记作 $$a\equiv b\pmod m(1)$$ 否 阅读全文
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1. 欧拉函数的定义以及性质 定义一个数 $m$ 的欧拉函数 $\varphi(m)$ 为 $[1,m]$ 中与 $m$ 互质的整数个数。 首先，明显地， 如果 $m$ 是质数，那么 $\varphi(m)=m-1$。 如果 $m$ 是质数，那么 $\varphi(m^k)=(m-1)\times 阅读全文