CF1924E

题面

有一个 \(n\times m\) 的矩形纸片，放置在一个平面直角坐标系中，其左下角在 \((0,0)\)，右上角在 \((n,m)\) 位置。

有多次操作，每次会均匀随机选择一条平行于坐标轴、经过坐标均为整数的点，且穿过（不能是经过边界）纸片的直线，沿此方向将纸片裁开，并扔掉裁剪线的下侧或右侧的部分。

她想要你求出期望多少次操作后，剩下纸片的面积小于 \(k\)。你只需要求出答案模 \(10^9+7\) 的结果。

数据范围：\(n,m\le 10^6\)。

题解

首先我们看成 "并扔掉裁剪线的下侧或左侧的部分。"

我们考虑将题目转化一下，将一种选取方式对应到一个排列上。

记这个排列为 \(p_1,..,p_{n+m-2}\) ，那么我们从小到大枚举 \(p_i\) ：

• 若 \(p_i\le n\) ，那么看如果当前纸片的右端 \(n'\) 是否\(>p_i\) ，如果是则表示割掉 \(p_i\) 右边的部分。如果否则不操作。
• 若 \(p_i> n\) ，那么看如果当前纸片的上端 \(m'\) 是否\(>p_i-n\) ，如果是则表示割掉 \(p_i-n\) 上边的部分。如果否则不操作。
• 如果此时 \(n'm'<k\) ，那么就不操作。

然后考虑期望的线性性，那么我们可以对每一个成功的操作，让其对答案产生 \(1\) 贡献。

考虑对于 \(p_i\in[1,n-1]\) ，那么对于所有 \(p_i<p_j< n\) 的 \(j\) 都要 \(>i\) ，并且对于 \(p_j\in[n,n+m-2],(p_j-n)p_i<k\) 的 \(j\) 都要 \(>i\) 。

那么就可以转化为排列 \(p_{1},...,p_{n+m-2}\)，满足第 \(2\sim k+1\) 个位置的数要大于第 \(1\) 个位置的数 的概率，这个答案是 \(\frac{1}{k+1}\) 。

对于 \(p_i\in[n,n+m-2]\) 的考虑是类似的。

启发

• 积累了一个转化模型：将一种随机选择的情况转化到排列上。