ARC162E

题面

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，求长度为 \(n\) 的序列 \(B\) 的个数，模 \(998244353\)，要求 \(B\) 满足以下条件：

• 值域 \([1, n]\)。
• \(i\) 的个数不超过 \(A_i\)。
• \(B_i\) 的个数不超过 \(A_i\)。

数据范围：\(n\le 500\) 。

题解

当时想的是先把 \(a_i\) 排序，然后对于数 \(i\) 来考虑，其最多出现次数要么是 \(a_i\) ，要么就是第一个 \(i\) 的位置。

但是这样就要记 \(f_{i,j,k}\) ，表示当前考虑到 \(i\) ，还没放的数的个数 \(j\)，\(i+1\sim n\) 中还没放数的个数是 \(k\) 。转移是 \(O(n)\) 的，然后就 G 了。

但是我们可以这样：对于每个 \(i\) ，考虑出现 \(i\) 次的数有多少个，这样记 \(f_{i,j,k}\) ，为考虑到 \(i\) ，已经放入的数是 \(j\) ，占用的空位是 \(k\) 。虽然状态数是一样的，但这样的转移是只有 \(O(\log)\) 次的！

所以就有：

\[f(i,j,k)\leftarrow f(i-1,j-t,k-ti)\times\binom{suc_i-k+ti}{i,i,...,i}\times\binom{suc_i-j+t}t \]

启发

• 对于这种dp，如果发现转移 \(O(n)\) 无法通过时，可以想想对于每个出现次数去考虑。