ARC171C

题面

给定一棵 \(n\) 个节点的树，每个点有个权值 \(a_i\)，初始时 \(a_i=i\)。

你可以执行任意操作：选择一条边 \((u,v)\)，交换 \(a_u\) 和 \(a_v\)，并将这条边删掉。

问通过上述操作，最后 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 有多少种不同的排列方式，答案对 \(998244353\) 取模。

数据范围：\(n\le 3\times 10^3\) 。

题解

算是一个结论题，首先对于两个方案，如果连操作的边的集合都不相同，那么这两种方案得到的序列肯定不一样。

然后再看还有什么情况。对于两个方案，对于树上的每一个点 \(x\)，如果点 \(x\) 周边要操作的边的相对相对顺序都一样，那么这两种方案得到的 \(a\) 就相同，否则就不同。

证明？大致是只要操作时两边的点权都相同，那么最终产生的 \(a\) 肯定相同。

所以考虑对于一种 操作的边的集合 计算答案。

这里又是一个结论？就是无论怎么确定 \(x\) 周边的边的相对操作顺序，都可以找到一个总的边的操作顺序，因为对于边 \(a,b,c\) ，不会出现 \((a,b),(b,c),(a,c)\) 有相同端点，从而出现 \(t_a<t_b,t_b<t_c,t_a>t_c\) 的情况。

所以答案就是 \(\sum_{E}\prod_{i=1}^n deg_{i,E}!\)，其中 \(deg_{i,E}\) 表示节点 \(i\) 在边集 \(E\) 中的度数。

然后考虑dp求答案，设 \(f_{x,i,0/1}\) 表示只考虑以 \(x\) 为根的子树中，与 \(x\) 相连的所有边中选了 \(i\) 条，且 \(x\) 与其父亲之间的边有没有断的方案数。有转移：

\[f_{x,i,0}\leftarrow f_{x,i,0}\cdot g_{y,0}+f_{x,i−1,0}\cdot i\cdot g_{y,1}\\ f_{x,i,1}\leftarrow f_{x,i,1}\cdot g_{y,0}+f_{x,i−1,0}\cdot i\cdot g_{y,1} \]

启发

• 对于题面问题，考虑求最终方案数时，关键是看每一条边操作时两点的点权。
• 在考虑是否存在一个排列，并且满足一些数的相对大小时，看会不会出现 \(t_a<t_b,t_b<t_c,t_a>t_c\) 就行了。