ARC171C

题面

给定一棵 $n$ 个节点的树，每个点有个权值 $a_i$，初始时 $a_i=i$。

你可以执行任意操作：选择一条边 $(u,v)$，交换 $a_u$ 和 $a_v$，并将这条边删掉。

问通过上述操作，最后 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 有多少种不同的排列方式，答案对 $998244353$ 取模。

数据范围：$n\le 3\times 10^3$ 。

题解

算是一个结论题，首先对于两个方案，如果连操作的边的集合都不相同，那么这两种方案得到的序列肯定不一样。

然后再看还有什么情况。对于两个方案，对于树上的每一个点 $x$，如果点 $x$ 周边要操作的边的相对相对顺序都一样，那么这两种方案得到的 $a$ 就相同，否则就不同。

证明？大致是只要操作时两边的点权都相同，那么最终产生的 $a$ 肯定相同。

所以考虑对于一种 操作的边的集合 计算答案。

这里又是一个结论？就是无论怎么确定 $x$ 周边的边的相对操作顺序，都可以找到一个总的边的操作顺序，因为对于边 $a,b,c$ ，不会出现 $(a,b),(b,c),(a,c)$ 有相同端点，从而出现 $t_a<t_b,t_b<t_c,t_a>t_c$ 的情况。

所以答案就是 $\sum_{E}\prod_{i=1}^n deg_{i,E}!$，其中 $deg_{i,E}$ 表示节点 $i$ 在边集 $E$ 中的度数。

然后考虑dp求答案，设 $f_{x,i,0/1}$ 表示只考虑以 $x$ 为根的子树中，与 $x$ 相连的所有边中选了 $i$ 条，且 $x$ 与其父亲之间的边有没有断的方案数。有转移：

$$f_{x,i,0}\leftarrow f_{x,i,0}\cdot g_{y,0}+f_{x,i−1,0}\cdot i\cdot g_{y,1}\\ f_{x,i,1}\leftarrow f_{x,i,1}\cdot g_{y,0}+f_{x,i−1,0}\cdot i\cdot g_{y,1}$$

启发

• 对于题面问题，考虑求最终方案数时，关键是看每一条边操作时两点的点权。
• 在考虑是否存在一个排列，并且满足一些数的相对大小时，看会不会出现 $t_a<t_b,t_b<t_c,t_a>t_c$ 就行了。