ARC161F

题面

给定一张含 \(n\) 个点，\(nk\) 条边的图 \(G=(V,E)\)，判断是否满足 \(\forall X \subsetneqq V,X\neq \varnothing\)，\(X\) 导出子图的边数 \(\div\) \(|X|\) \(< k\)。

\(nk\le 5\times 10^4\) 。

题解

首先要发现这是一个最大权闭合子图的问题，对于一条边 \((x,y)\)，其贡献为 \(1\) ，但是选了这条边就必须选点 \(x\) 和 \(y\)，而选一个点的代价为 \(k\) ，建立二分图之后，看这个图的最小割是否 \(\ge 0\) 。

但是直接做会有一个问题，就是我们无法排除 \(X\) 为 \(V\) 和 \(\varnothing\) 的情况，接下来我们就需要通过一些操作排除这两个特殊情况。

我们先强制会选择第一条边，也就是保留这一条边不被割（可以通过设置 \(S\to a_1\) 的容量设为无穷大来防止被割）。此时我们如果可以找到一个方案，使某一条边被舍弃了（被割了），此时这个包含第一条边的方案就是一个非全集、空集且最小割 \(\ge 0\) 的方案，那么此时图就是不合法的。否则就不存在一个包含第一条边且不为全集的方案，使其最小割 \(\ge 0\) 。

如何实现？首先要分析一下我们是如何求解最大权闭合子图方案的：

• 对于二分图左边的点，若 \(x\) 可以从 \(S\) 遍历到，就把 \(x\) 对应的边给保留（不被割以得到贡献）。
• 对于二分图右边的点，若 \(x\) 可以从 \(S\) 遍历到，就把 \(x\) 对应的点给删去（不被割而不承受代价）。

但是我们实际上是可以有其他方案的，就比如该二分图上个某个子图 \(S\to \{A\}\to \{B\}\to T\)，其中 \(\{A\},\{B\}\) 分别是左右边的一个点集，其中 \(S\to \{A\},\{B\}\to T\) 的可用流量都是 \(0\)，那么按上面的选法我们割掉的是 \(S\to \{A\}\) 的边，实际上我们也可以选择割掉 \(\{T\}\to T\) 的边。

所以如果我们按照某个点是否能从 \(S\) 到来判断是否割掉该对应的边 ，实际上是尽可能的让左边的边被割。

回到原问题，如果我们要看是否存在一个方案，使某一条边被舍弃了(被割掉)，那么我们就在跑完最小割之后对每一个左边的点考虑能不能从 \(S\) 遍历到他，若不可以，那么按照我们的分析，原图就不合法。

之后我们再强制不选第一条边（也就是流量为 \(0\)）。同样的，如果存在一个此时我们如果可以找到一个方案，使某一个点被选了（也就是对应的边被割了），此时这个不包含第一条边的方案就是一个非全集、空集且最小割 \(\ge 0\) 的方案，那么此时图就是不合法的。否则就不存在一个不包含第一条边且不为空集的方案，使其最小割 \(\ge 0\) 。

此时如果我们按照某个点是否能到 \(T\) 到来判断是否割掉该对应的边 ，实际上是尽可能的让右边的边被割。

如果上面两种都找不到，那么就是合法的图了。

启发

• 一个最大权闭合子图的问题。
• 探究了最大权闭合子图（最小割）选方案的问题。
• 对于一个要排除全集和空集的情况，我们可以强制某一个元素选或者不选。