P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

题面

定义一个集合的 $\operatorname{mex}$ 是最小的不在 $S$ 中的非负整数。给定一个序列 $a_1,\dots,a_n$，对于每个 $1\leq k\leq n$，我们按照如下方式定义 $b_k$：

• 对于 $a$ 的所有长为 $k$ 的子区间，求出这个子区间构成的数集的 $\operatorname{mex}$。
• 对于求出的所有 $\operatorname{mex}$，求出这个数集自己的 $\operatorname{mex}$，记为 $b_k$。

请你求出序列 $b$。

数据范围：$1\leq n\leq 10^5,a_i\leq n$。

题解

感觉挺难的啊，为毛过了一车人...

总体的思路是找到形如 $[l_1,r_1]$ 和 $[l_2,r_2]$ 这样的区间，使 $l\in[l_1,r_1],r\in[l_2,r_2],mex(a_l\sim a_r)=t$ ，那么我们就可以对 $k$ 在 $l_2-r_1+1\sim r_2-l_1+1$ 的这些 $b_k$ 都加上 $t$ 元素，将这些修改操作扫描线处理一下，然后就可以用线段树上二分的方式找最小的没有出现的元素。

现在考虑去求这样的区间。

首先是一个结论：记最小 $mex$ 区间表示：对于一个区间 $[l,r]$，不存在一个子区间 $[l_1,r_1]$，使 $\text{mex}(a_l\sim a_r)=\text{mex}(a_{l_1} \sim a_{r_1})$ ，那么一个序列的所有最小 $mex$ 区间的数量是 $O(n)$ 的。

证明：对于一个满足条件的最小的 $mex$ 区间 $[l,r]$， 显然满足 $a_l\neq a_r$，否则删任意一个不影响答案。不妨假设 $a_l>a_r$，那么有 $mex(a_l\sim a_r)\ge a_l> a_r$。

此时如果还存在一个 $r_1$ 使得 $r_1>r\and a_l>a_{r_1}$ ，那么 $a_{r_1}$ 一定在 $a_l\sim a_r$ 中出现过了（不然 $mex(a_l\sim a_r)$ 不会大于等于 $a_l$），那么对于一个 $a_i$ 来说，那些比他 $a_j$ 大，并且和 $i$ 组成最小 $mex$区间的 $j$ 只会出现最多 $2$ 次，那么整个序列最多就是 $2n$ 个最小 $mex$ 序列。

现在我们考虑维护所有的最小 $mex$ 区间 $(l,r,k),k=mex(a_l\sim a_r)$，考虑往其两边扩展，那么就是找到 $l$ 左边和 $r$ 右边最近的 $t$ 使 $a_t=k$ ，求出其 $mex$，那么就可以找到所有可能的最小 $mex$ 区间。

注意并不是一定，如 $2,1,0,1,0$，那么 $(4,5,2)$ 往左扩展会到 $(1,5,3)$ ，很明显不是最小 $mex$ 区间。

对于一组最小 $mex$ 区间，求出其最大 $mex$ 区间是比较显然的，左右端点就是 $l$ 左边和 $r$ 右边最近的 $k$ ，在计算扩展区间的时候就已经处理出来了。

那么我们整个算法流程就是：

• 预处理出极小的 $(*,*,0)$ 和 $(*,*,1)$ 的区间。
• 对于每一个 $(l,r,x)$ 区间，分别求出其距离左端点最近的 $x$ 出现位置 $l_1$，和距离右端点最近的 $x−1$ 出现位置 $r_1$，形成两个新的区间，算一下 $(l_1,r),(l,r_1)$ 的 $mex$，然后丢到对应的存储 $(*,*,x')$ 区间的 vector 里，并且将 $[l_1+1,l],[r,r_1-1],x$ 记录下来后续处理。
• 对于每一个 $x$ ，先将删去被包含的区间，在对每一个 $(*,*,x)$ 进行扩展。

注意这里要有一个在线求 $[l,r]$ 的算法，就是 P4137 。考虑建立一个主席树，每一个节点 $[l,r]$ 存的是 $(a_l\sim a_r)$ 中最晚出现的下表，这样在查询 $l,r$ 的时候我们就在 $r$ 那一棵树上找出现时间 $<l$ 的最小的节点是什么。

启发

• 关于 $mex$ 的一个结论：一个序列的所有最小 $mex$ 区间的数量是 $O(n)$ 的。
• 关于求区间 $mex$ 的算法：主席树+线段树二分。