P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

题面

定义一个集合的 \(\operatorname{mex}\) 是最小的不在 \(S\) 中的非负整数。给定一个序列 \(a_1,\dots,a_n\)，对于每个 \(1\leq k\leq n\)，我们按照如下方式定义 \(b_k\)：

• 对于 \(a\) 的所有长为 \(k\) 的子区间，求出这个子区间构成的数集的 \(\operatorname{mex}\)。
• 对于求出的所有 \(\operatorname{mex}\)，求出这个数集自己的 \(\operatorname{mex}\)，记为 \(b_k\)。

请你求出序列 \(b\)。

数据范围：\(1\leq n\leq 10^5,a_i\leq n\)。

题解

感觉挺难的啊，为毛过了一车人...

总体的思路是找到形如 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\) 这样的区间，使 \(l\in[l_1,r_1],r\in[l_2,r_2],mex(a_l\sim a_r)=t\) ，那么我们就可以对 \(k\) 在 \(l_2-r_1+1\sim r_2-l_1+1\) 的这些 \(b_k\) 都加上 \(t\) 元素，将这些修改操作扫描线处理一下，然后就可以用线段树上二分的方式找最小的没有出现的元素。

现在考虑去求这样的区间。

首先是一个结论：记最小 \(mex\) 区间表示：对于一个区间 \([l,r]\)，不存在一个子区间 \([l_1,r_1]\)，使 \(\text{mex}(a_l\sim a_r)=\text{mex}(a_{l_1} \sim a_{r_1})\) ，那么一个序列的所有最小 \(mex\) 区间的数量是 \(O(n)\) 的。

证明：对于一个满足条件的最小的 \(mex\) 区间 \([l,r]\)， 显然满足 \(a_l\neq a_r\)，否则删任意一个不影响答案。不妨假设 \(a_l>a_r\)，那么有 \(mex(a_l\sim a_r)\ge a_l> a_r\)。

此时如果还存在一个 \(r_1\) 使得 \(r_1>r\and a_l>a_{r_1}\) ，那么 \(a_{r_1}\) 一定在 \(a_l\sim a_r\) 中出现过了（不然 \(mex(a_l\sim a_r)\) 不会大于等于 \(a_l\)），那么对于一个 \(a_i\) 来说，那些比他 \(a_j\) 大，并且和 \(i\) 组成最小 \(mex\)区间的 \(j\) 只会出现最多 \(2\) 次，那么整个序列最多就是 \(2n\) 个最小 \(mex\) 序列。

现在我们考虑维护所有的最小 \(mex\) 区间 \((l,r,k),k=mex(a_l\sim a_r)\)，考虑往其两边扩展，那么就是找到 \(l\) 左边和 \(r\) 右边最近的 \(t\) 使 \(a_t=k\) ，求出其 \(mex\)，那么就可以找到所有可能的最小 \(mex\) 区间。

注意并不是一定，如 \(2,1,0,1,0\)，那么 \((4,5,2)\) 往左扩展会到 \((1,5,3)\) ，很明显不是最小 \(mex\) 区间。

对于一组最小 \(mex\) 区间，求出其最大 \(mex\) 区间是比较显然的，左右端点就是 \(l\) 左边和 \(r\) 右边最近的 \(k\) ，在计算扩展区间的时候就已经处理出来了。

那么我们整个算法流程就是：

• 预处理出极小的 \((*,*,0)\) 和 \((*,*,1)\) 的区间。
• 对于每一个 \((l,r,x)\) 区间，分别求出其距离左端点最近的 \(x\) 出现位置 \(l_1\)，和距离右端点最近的 \(x−1\) 出现位置 \(r_1\)，形成两个新的区间，算一下 \((l_1,r),(l,r_1)\) 的 \(mex\)，然后丢到对应的存储 \((*,*,x')\) 区间的 vector 里，并且将 \([l_1+1,l],[r,r_1-1],x\) 记录下来后续处理。
• 对于每一个 \(x\) ，先将删去被包含的区间，在对每一个 \((*,*,x)\) 进行扩展。

注意这里要有一个在线求 \([l,r]\) 的算法，就是 P4137 。考虑建立一个主席树，每一个节点 \([l,r]\) 存的是 \((a_l\sim a_r)\) 中最晚出现的下表，这样在查询 \(l,r\) 的时候我们就在 \(r\) 那一棵树上找出现时间 \(<l\) 的最小的节点是什么。

启发

• 关于 \(mex\) 的一个结论：一个序列的所有最小 \(mex\) 区间的数量是 \(O(n)\) 的。
• 关于求区间 \(mex\) 的算法：主席树+线段树二分。