ARC163D

题面

考虑一张竞赛图 \(G\)，其中有 \(N\) 个节点，节点编号为 \(1,2,\dots,N\)，且 \(G\) 满足：

• 对于 \(G\) 中的所有边 \(u\to v\)，恰好有 \(M\) 条边满足 \(u<v\)。

设 \(f(G)\) 表示图 \(G\) 中的强连通分量数量。请你求出所有满足条件的 \(G\) 的 \(f(G)\) 之和。

\(1\le N\le30\)，\(0\le M\le\frac{N(N-1)}2\)。

题解

• 常规做法

设 \(f_{i,j}\) 表示有 \(i\) 个点，\(j\) 条满足条件的边的SCC的数量，\(g_{i,j}\) 表示有 \(i\) 个点，\(j\) 条满足条件的边的任意图数量，一般的求法就是 \(f_{i,j}=g_{i,j}-\sum_{p}\sum_{q}f_{p,q}\cdot g_{i-p,j-q}\) 。

但是这里我们需要保证 SCC 和一般图中的点不会形成一个新的SCC，并且还要考虑 SCC 和一般图直接连边的贡献。

看似不可做了，但是要注意竞赛图的性质，就是你把竞赛图缩点会得到一条链，链上前面的点到后面的每个点都有边。

那么我们可以默认隔开的SCC就是链最左边的那一个，这样这个SCC连出来的边就都是向外的，这样不仅解决了分隔的问题，两个图连接的贡献也好统计了。

设 \(h_{i,j,k}\) 表示有 \(i\) 个点，SCC有 \(j\) 个点，两个图连接处有 \(k\) 条从小到大的边 的方案数，那么有：

\[f_{i,j}=g_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{p=0}^jf_{k,p}\sum_{q=0}^{j-p}h_{i,k,q}\cdot g_{i-k,j-p-q} \]

其中可以预先处理后面的一坨，就可以做到 \(O(n^6)\) 。

统计答案也是类似的，而且要记录 SCC 的和 和 图的方案数来统计答案。

• 高端做法

上面的做法固然可以，但是没有进一步利用竞赛图的性质，有结论：

一个竞赛图的 SCC 个数等于将其点集划分为两个集合 \(A,B\)（可为空集）并满足以下限制的方案数 \(−1\)：

• 对于每条满足 \(u\in A,v\in B.\) 的边 \((u,v)\)，都满足其方向为 \(u\to v\)。

证明考虑将这个图缩点，变成了一条链，链上前面的点到后面的每个点都有边。这样我们找到一个分界点 \(i(0\le i\le k)\)，将 \(p_1,p_2,…,p_i\) 所对应的 SCC 划入 \(A\)，将\(p_{i+1},…,p_k\) 所对应的 SCC 划入 B。这样一个图就会贡献 SCC 个数 \(+1\) 次。

这样DP就变得简单了，设 \(f_{i,j,k}\) 表示满足 \(|A|=i,|B|=j\) ，有 \(k\) 条满足要求的边的方案数，转移是比较简单的。

• 更高端的做法

如果没有把这个结论这么具象的表示出来，也是可以做出来的。

我们还是在缩点后的链上去考虑，对于链上的一个分界点 \(p_x\)，我们不关心 \(p_1\sim p_x\) 到底分别是什么，\(p_{x+1}\sim p_k\) 是什么，只需要关系如果 \(p_1\sim p_x\) 到 \(p_{x+1}\sim p_{k}\) 都连了过去的边，那么就会对答案产生一次贡献。

你会发现这是我们就只关心 \(p_1\sim p_x\) 节点的数量和满足了多少边的条件，而且方案数就是做法一的 \(h\) 。所以答案就是：

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^mg_{ij}\sum_{k=0}^{m-j}h_{n,i,k}\cdot g_{n-i,m-j-k} \]

启发

• 竞赛图的一些性质。
• 半在线卷积式的转移被固定的一方可以灵活选取。
• 高妙的统计答案的方法。