ARC168E

题面

给定长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_i\}\) 和两个参数 \(k, s\)，将 \(\{a_i\}\) 划分成 \(k\) 段，最大化 和 \(\geq s\) 的段数。

\(1 \leq k \leq n \leq 250000, 1 \leq A_i \leq 10^9, 1 \leq s \leq 10^{15}\)。

题解

首先注意到如果当前划分的一段 \(sum<s\) ，那么这种段的长度肯定是 \(1\) 。

那么我们就只考虑 \(sum\ge s\) 的段，我们就可以把原问题转化为：我要在原序列中选择 \(m\) 个区间（区间和划分段是等价的），满足以下条件，问 \(m\) 最大是多少。

• 每一个区间的 \(sum\ge s\)
• 选出的区间不能有交
• 记一个选出来的区间的代价为 \(len-1\) ，那么代价和要小于 \(n-k\)

注意随着你选的区间增加，代价肯定是越来越大的，也就是记 \(f(x)\) 表示选 \(x\) 个区间的最小代价，\(f(x)\) 是上凹的（证明可以看官方题解）

所以可以用wqs二分！

但我们一般用wqs二分是来找到 \((x,f(x))\) 的值，这里是要找到 \(\max(x|f(x)\le n-k)\) ，可以用吗？

当然可以，我们只要二分斜率 \(mid\) ，找到切点，看切点的 \(f(x)\) 大于还是小于 \(n-k\) ，若大于，则 \(mid\) 太大了，切到的点在我们想要的 \(x\) 点的右边了，反之亦然。

于是我就可以求出答案了（要注意 \(K_{x,x+1}\) 与 \(K_{x-1,x}\) 相等的情况，需要做一些处理 ）复杂度就是 \(O(n\log n)\) 。

启发

• 一种全新的wqs二分运用形式！
• 原问题的转化也值得留意。