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题面

给定一颗带点权的树，求点权和最大的且直径不超过 \(k\) 的联通块权值和。

数据范围：\(k\le n\le 10^5\) 。

题解

首先有dp，设 \(f_{x,i}\) 表示 连通块最高点是 \(x\) ，此时最深的点到 \(x\) 的距离不超过 \(i\) 的最大权值和，有转移：

• \(i+i\le k\) ，此时 \(f_{x,i}=f_{x,i}'+f_{y,i}\) 。
• \(i+i> k\) ，此时 \(f_{x,i}=\max(f_{x,i-1},f_{x,i}'+f_{y,k-i},f_{x,k-i}'+f_{y,i})\) 。

现在要考虑优化这个转移。

注意到 \(f_{x,i}\) 是关于深度的，所以可以长链剖分优化，但是这个长链剖分只能做第一部分，第二部分就G了。

准确的说，是只有第一部分的形式是可以直接转移的。

因为要保证长链剖分的复杂度，我们把 \(y\) 合并到 \(x\) 上，是需要一个关于 \(O(len_y)\) 的算法的，\(len_y\) 为 \(y\) 这条长链的长度，也就是说，如果 \(len_y<k/2\) ，那么对于 \(f_{x,i}\) ,其中 \(i\in[k/2,k-len_y]\) ，都需要区间加上 \(f_{y,len_y}\) 。

再考虑第二部分，我们发现需要做第二部分转移的个数只有 \(\min(len_y,k/2)\) 次，所以我们是可以暴力去做的。

之后还需要处理一个问题，就是当计算上 \(val_x\) 之后，会让 \(f_x\) 的一段前缀 \(<0\) ，这时候我们就需要把这些部分变成 \(0\) 。

所以就需要一个支持 单点加、区间加、给一段前缀赋值 的东西，这很显然需要一个线段树。

注意为什么我们不能在合并 \(x,y\) 的时候把 \(y\) 的值与 \(0\) 取 \(\max\) ，而需要即时修改，因为 \(x\) 的父亲是直接继承 \(x\) 的值的，所以这些负数会影响 \(x\) 父亲的合并，所以线段树是不可少的。

上面的转移看起来比较小清新，但是实际上实现的时候细节巨多，调吐了。

启发

• 长链剖分只是一种父亲直接继承重儿子，与其他链合并时需要做到关于 \(O(len_y)\) 的一种思想，所以内部的实现也是可以加数据结构的。