hdu7217

题面

定义一个序列 \(\{a_1,a_2,...,a_n\}\) 是好的，当且仅当 \(\forall i\in[1,n-1]\) ，\(a_{i-1}\) 是 \(a_i\) 的约数。

给定 \(n,m\) ，求长度不超过 \(n\) 且 最大元素 \(\le m\) 的好的序列的个数，对 \(10^9+7\) 取模。

数据范围：\(n,m\le 10^9\) 。

题解

考虑对最大元素是 \(m\) 的好的序列的个数是什么，发现是把其质因数分解成 \(\prod p_i^{c_i}\) ，答案就是 \(\sum_{i=1}^n\prod\binom{c_i+i-1}{i-1}\) ，但是你会发现这个式子被 \(c_i\) 限制死了，完全没有进一步化简的方向，所以考虑换个方向。

其实你只要好好想想这个 \(\prod\binom{c_i+i-1}{i-1}\) ，我们是按 \(d_i=\frac{a_{i}}{a_{i-1}}\) 来对 \(a\) 计数的，那么我们为什么要还要把 \(d_i\) 拆成质因数呢？我们直接设 \(f_{n,m}\) 为当前 \(\prod d_i\le m\) ，且非 \(1\) 的 \(d_i\) 的个数为 \(n\) ，那么最终答案就是

\[ans=\sum_{i=1}^n f_{i,m}\sum_{j=1}^n \binom{j-1}{i-1}=\sum_{i=1}^n f_{i,m}\binom{n}{i} \]

并且 \(f_{n,m}\) 的 \(n\) 是 \(\log m\) 级别的，所以我们只需要快速计算 \(f_{n,m}\) 就可以了。

考虑 \(f_{n,m}\) 的转移，就是枚举下一个 \(d_i\) 是什么，有

\[f_{n,m}=\sum_{i=2}^mf_{n-1,\lfloor\frac{m}{i}\rfloor} \]

熟知数论的同学就会发现，这就是杜教筛的形式，直接整除分块就有 \(O(n^{\frac{3}{4}}\log n )\) 的复杂度，需要卡常。

为什么不能做到 \(O(n^{\frac{2}{3}}\log n)\) 呢？是因为我们没法以 \(O(n)/O(n\log n)\) 的复杂度处理前 \(n\) 项。

那么我们就尝试处理。

要注意杜教筛是处理前缀和的，即 \(f_{n,m}=\sum_{i=1}^mg_{n,i}\)，考虑 \(g_{n,m}\) 的含义，就是当前 \(\prod d_i= m\) ，且非 \(1\) 的 \(d_i\) 的个数为 \(n\) 。考虑这玩意的转移式：

\[g_{n,m}=\sum_{i|m} g_{n-1,i} \]

诶，这不就是 Dirichlet 卷积吗，于是就有 \(O(n)\) 的做法P5495 Dirichlet 前缀和 ，但我不会，所以我就用了 \(O(n\log n)\) 的暴力转移。

其实进一步观察就会发现其实 \(g_n=1^n\) ，所以好像是可以用 Min_25 筛的，但是我也不会。。。

所以最终复杂度是 \(O(n^{\frac{2}{3}}\log n)\) 的。

启发

• 遇到问题先要想最普通的dp，然后再去考虑进一步转化的式子，不然很容易错过正解的方向。
• 要注意 \(f_{n,m}=\sum_{i=2}^mf_{n-1,\lfloor\frac{m}{i}\rfloor}\) 这种dp形式。