P6109 [Ynoi2009] rprmq1

题面

有一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(a\)，初始全是 \(0\)。

先进行 \(m\) 次修改操作，一次修改操作会给出 \(l_1,l_2,r_1,r_2,x\)，代表把所有满足 \(l_1 \le i \le r_1\) 且 \(l_2 \le j \le r_2\) 的 \(a_{i,j}\) 元素加上一个值 \(x\)。

在进行 \(q\) 次查询操作，一次查询操作会给出 \(l_1,l_2,r_1,r_2\)，代表查询所有满足 \(l_1 \le i \le r_1\) 且 \(l_2 \le j \le r_2\) 的 \(a_{i,j}\) 元素的最大值。

数据范围：\(n,m\le 5\times 10^4,q\le 5\times 10^5\) 。

题解

先有暴力做法：

离线下来，然后扫描线，支持区间加减，此时维护的就是 \(i=x\) 的一竖列的值的情况。

但是题目要我们求的是矩形的最大值，也就是随着 \(i\) 从左到右一段时间内的区间最大值。

这看起来很难做，我们可以放宽限制，考虑如果是一段前缀可以做吗？

诶，这不就是线段树区间历史最值吗？

现在回到原情况，现在相当于我们可以从某个点开始，求一段前缀、后缀的的历史最大值。

想到了什么？

分治！

我们把询问分治到 \(l\le mid\le r\) 的一个节点上，然后对每个节点从 \(mid\) 扫到 \(l\) 记录答案，然后撤回，在从 \(mid+1\) 扫到 \(r\) 并记录答案。

但是！我们发现并不是直接扫就能得到答案的，因为对于时刻 \(i\) 一竖列的值的情况是操作的前缀和！所以我们必须安排一个合适的扫描+回退的顺序。

考虑处理 \(l,r\) ，并且当指针位于 \(l-1\) （指针的位置表示处理到的位置） ，我们希望处理完之后退回到 \(l-i\) ，操作如下：

• 指针扫到 \(mid\) 。
• 对历史最值初始化。
• 扫到 \(r\) ，更新答案。
• 回退到 \(mid\) 。
• 递归处理 \(mid+1,r\) ，处理完指针还在 \(mid\) 。
• 对历史最值初始化。
• 扫到 \(l-1\) ，更新答案。

注意对历史最值初始化怎么做？

• 方法一：

  可以在线段树上额外开一个标记表示是否要初始化，初始化后会让 \(hma=ma,hbj=-\inf\) 。

  注意在给 \(p\) 打标记的时候要先 down(p) ，否则就会出现 \(p\) 的标记没有先下传！

  代码上是这样的：

  	void chuli2(int p){
  		chuli1(p<<1,tr[p].bj1,tr[p].bj2),chuli1(p<<1|1,tr[p].bj1,tr[p].bj2);
  		tr[p].bj=1,tr[p].hma=tr[p].ma,tr[p].bj2=inf,tr[p].bj1=0;
  	}
  

• 方法二：

  可以给线段树整体加一个比较大的数（防止爆long long），这样历史就更新了。

启发

• 分治的新方式！
• 历史最值在处理二维最值上的作用！