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题面

根据唯一质数分解定理可得，一个正整数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}\) ，设

\[f(n)=\frac{n}{\prod_{i=1}^k c_i} \]

给定 \(n\) ，求：

\[\sum_{i=1}^n f(i) \]

数据范围：\(n\le 10^{12}\) 。

题解

数论好题！从没碰到过的类型！

首先要注意到 \(f(n)\) 是一个积性函数，碰到积性函数的前缀和，可能会想到杜教筛，但是这个式子一点都不寻常，找不到一个好求前缀和的 \(g\) 使 \(f*g\) 也好求。

怎么办？

这时候题解告诉你，注意到 \(f(p)=p\) （以下称 \(p\) 为任意一个质数），我们可以通过构造出 \(g,h\) 使 \(g*h=f\) 。

而且为了好算，我们就让 \(g=id\) 。

至于你问我为什么，我们只能说题解告诉我的。

然后拆我们可以拆 Dirichlet卷积 的式子：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n(g*h)(i)=&\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}g(\frac{i}{j})h(j)\\ =&\sum_{i=1}^nh(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}g(j)\\ =&\sum_{i=1}^nh(i)\frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor+1)}{2} \end{aligned} \]

这时候我们直接求每一个 \(h(i)\) 也不行，所以现在我们要考虑 \(h\) 到底是什么东西，

等等，真的不能算出每一个 \(h(i)\) 吗？

注意到 \(f(p)=p\) ，而 \(g(p)=p\) ，所以 \(f(p)=p=g(p)h(1)+g(1)h(p)\) ，所以 \(h(p)=0\) ！

又因为 \(h\) 也是积性函数，所以只要 \(n\) 存在一个质因数指数为 \(1\) ，那么 \(h(n)=0\) ！

然后题解证明，在 \(1\sim n\) 中，这样的数的个数是 \(O(\sqrt n)\) 的！

所以有值的 \(h(n)\) 只有 \(O(\sqrt n)\) 个！

那么我们就可以考虑暴力求出每一个 \(h(n)\) ，然后就可以得到答案。

现在考虑怎么求\(h(n)\)，也就是考虑怎么求 \(h(p^k)\) 。

因为

\[\begin{aligned} f(p^k)&=\sum_{i=0}^kh(p^i)p^{k-i}\\ &=p\sum_{i=0}^{k-1} h(p^i)p^{k-1-i}+h(p^k)\\ &=pf(p^{k-1})+h(p^k) \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} h(p^k)&=f(p^k)-pf(p^{k-1})\\ &=\frac{p^k}{k}-\frac{p^k}{k-1}\\ &=-\frac{p^k}{k(k-1)} \end{aligned} \]

这样一下来，我们就可以求出所有 \(h(n)\) 来了。

复杂度是 \(O(\sqrt n)\) 的。

启发

• 对于一个积性函数，只要其 \(f(p)=p\) ，我们都可以往这个方向上想。