ARC145E
题面
你有一个长度为 n 的序列 A ,你想通过小于等于 70000 次操作使 A 等于另一个序列 B ,或判断无解。
操作为:选择一个 k\in[1,n] ,对于 i\in[2,k],a_i\leftarrow a_i\oplus a_{i-1} 。
数据范围 :n\le 1000,a_i< 2^{60} 。
题解
首先分析一下操作,发现他是对 A 的一个前缀产生改变,即如果我们让 a_n=b_n ,那么就可以不用管 n 了,所以我们可以考虑从后往前去让每一个 a_i 满足。
现在我们考虑最终 a_i 的值可以从哪里来。
因为操作是异或,所以如果设 S=\{a_1,a_2,..., a_{i-1},a_i\} ,那么 a_i 就是 S 的某一个子集 T 的异或和,并且 a_i\in T 。
一定是子集吗?也就是所有情况都取得到吗?
考虑构造,设 01 序列 C ,其中 c_j=1 表示在 T 中,我们从 1 遍历到 i ,然后保持 j 的值为 a_j\oplus_{x\in T\and x<j} a_x 。
- 若 c_{j+1}=1,下一步操作就是 k={j+1} ,可以看出此时 a_{j+1} 的值也是上面这一坨。
- 若 c_{j+1}=0 ,下一步操作就是 k={j+2} ,此时 a_{j+2}=a_{j+1}\oplus a_{j} 而 a_{j+1} 是上面的这一坨,之后从 a_{j+1} 合并到 a_{j+2} 的时候 a_{j+1} 就会消掉。
所以可以证明所有子集都可以被构造出来。
那么怎么找到子集使 \oplus_{x\in T} a_x=b_i 呢?线性基!!!所以就做完了。
但是!这时候我们发现了一个严峻的问题:上面的构造是 O(n) 一次的,所以理论上最坏复杂度是 O(n^2) 的,远远大于 70000 ,而且理论最小值也是 \log a_i n=60000 的,怎么会过呢?
但事实是就是能过,不知道是数据水还是有奇怪性质。
有没有复杂度保证的做法呢?
有!
我们发现正着做没法做,因为 a_i 每次只会得到 a_{i-1} 的信息,理论上基本上都是要 O(n^2) 的操作的。
这时候,上天(题解)告诉你要反着来,考虑对 B 操作。
首先看逆操作是什么:
那么 a'_i=\oplus_{j=1}^i a_{j} 。(如果是 + ,那么 a_i'=\sum_{j=1}^i (-1)^{(i-j)} a_j 。)
那么逆操作就是对于 i\in[2,k],a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j}
这时候,我们发现,因为一次操作会给所有 2\sim k 的 b_i 发生改变,这就意味着如果我们在构造的时候是可能改变前面的某个 基向量 的值的,这会有影响吗?
答案是没有!
基底的选取有着很高的自由度。具体地,
- 若\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}线性无关,
- 则\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i}+\vec{v_j},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}也是线性无关的。
- 也就是说,基向量相加减依然可以作为基向量。
—— from 王总课件。
那么如果我们考虑从前往后去构造线性基,那么当 i 作为基向量的时候, 让 b_i 任意和 b_1\sim b_{i-1} 做异或运算, b_i 永远都会是基向量,所以我们可以从前往后先扫一遍,这样我们就求出了一组基底。
现在考虑构造 b_i ,最后一次操作肯定是 k=i ,让 b_i=\oplus_{j=1}^i b_{j} 。
考虑如何消除一个 b_x ,发现我们只需要做一次 k=x+1 ,这样 b_{x+1} 也有一个 b_x ,所以 \oplus_{j=1}^i b_{j} 里就没有 b_x 了。
所以我们从后往前依次考虑每一个基向量 x ,如果判断 当前 \oplus_{j=1}^i b_{j} 的值不能被 x 之前的基向量表示,那么就要按上面方法去除掉 b_x 。
所以这样就是严格 n\log a_i 的复杂度。
启发
- a_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_i 的逆操作是 a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j} 。
- 基向量相加减依然可以作为基向量!
本文作者:qwq_123
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