ARC145E

题面

你有一个长度为 $n$ 的序列 $A$ ，你想通过小于等于 $70000$ 次操作使 $A$ 等于另一个序列 $B$ ，或判断无解。

操作为：选择一个 $k\in[1,n]$ ，对于 $i\in[2,k],a_i\leftarrow a_i\oplus a_{i-1}$ 。

数据范围 ：$n\le 1000,a_i< 2^{60}$ 。

题解

首先分析一下操作，发现他是对 $A$ 的一个前缀产生改变，即如果我们让 $a_n=b_n$ ，那么就可以不用管 $n$ 了，所以我们可以考虑从后往前去让每一个 $a_i$ 满足。

现在我们考虑最终 $a_i$ 的值可以从哪里来。

因为操作是异或，所以如果设 $S=\{a_1,a_2,..., a_{i-1},a_i\}$ ，那么 $a_i$ 就是 $S$ 的某一个子集 $T$ 的异或和，并且 $a_i\in T$ 。

一定是子集吗？也就是所有情况都取得到吗？

考虑构造，设 $01$ 序列 $C$ ，其中 $c_j=1$ 表示在 $T$ 中，我们从 $1$ 遍历到 $i$ ，然后保持 $j$ 的值为 $a_j\oplus_{x\in T\and x<j} a_x$ 。

• 若 $c_{j+1}=1$，下一步操作就是 $k={j+1}$ ，可以看出此时 $a_{j+1}$ 的值也是上面这一坨。
• 若 $c_{j+1}=0$ ，下一步操作就是 $k={j+2}$ ，此时 $a_{j+2}=a_{j+1}\oplus a_{j}$ 而 $a_{j+1}$ 是上面的这一坨，之后从 $a_{j+1}$ 合并到 $a_{j+2}$ 的时候 $a_{j+1}$ 就会消掉。

所以可以证明所有子集都可以被构造出来。

那么怎么找到子集使 $\oplus_{x\in T} a_x=b_i$ 呢？线性基！！！所以就做完了。

但是！这时候我们发现了一个严峻的问题：上面的构造是 $O(n)$ 一次的，所以理论上最坏复杂度是 $O(n^2)$ 的，远远大于 $70000$ ，而且理论最小值也是 $\log a_i n=60000$ 的，怎么会过呢？

但事实是就是能过，不知道是数据水还是有奇怪性质。

有没有复杂度保证的做法呢？

有！

我们发现正着做没法做，因为 $a_i$ 每次只会得到 $a_{i-1}$ 的信息，理论上基本上都是要 $O(n^2)$ 的操作的。

这时候，上天（题解）告诉你要反着来，考虑对 $B$ 操作。

首先看逆操作是什么：

$$A=\{a_1,a_2\oplus a_1,a_3\oplus a_2,...,a_i\oplus a_{i-1}\}=A'=\{a'_1,a'_2,a'_3,...,a'_i\}$$

那么 $a'_i=\oplus_{j=1}^i a_{j}$ 。（如果是 $+$ ，那么 $a_i'=\sum_{j=1}^i (-1)^{(i-j)} a_j$ 。）

那么逆操作就是对于 $i\in[2,k]$，$a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j}$

这时候，我们发现，因为一次操作会给所有 $2\sim k$ 的 $b_i$ 发生改变，这就意味着如果我们在构造的时候是可能改变前面的某个 基向量 的值的，这会有影响吗？

答案是没有！

基底的选取有着很高的自由度。具体地，

• 若$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}$线性无关，
• 则$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_i}+\vec{v_j},...,\vec{v_j},..\vec{v_n}$也是线性无关的。
• 也就是说，基向量相加减依然可以作为基向量。

—— from 王总课件。

那么如果我们考虑从前往后去构造线性基，那么当 $i$ 作为基向量的时候， 让 $b_i$ 任意和 $b_1\sim b_{i-1}$ 做异或运算， $b_i$ 永远都会是基向量，所以我们可以从前往后先扫一遍，这样我们就求出了一组基底。

现在考虑构造 $b_i$ ，最后一次操作肯定是 $k=i$ ，让 $b_i=\oplus_{j=1}^i b_{j}$ 。

考虑如何消除一个 $b_x$ ，发现我们只需要做一次 $k=x+1$ ，这样 $b_{x+1}$ 也有一个 $b_x$ ，所以 $\oplus_{j=1}^i b_{j}$ 里就没有 $b_x$ 了。

所以我们从后往前依次考虑每一个基向量 $x$ ，如果判断 当前 $\oplus_{j=1}^i b_{j}$ 的值不能被 $x$ 之前的基向量表示，那么就要按上面方法去除掉 $b_x$ 。

所以这样就是严格 $n\log a_i$ 的复杂度。

启发

• $a_i\leftarrow a_{i-1}\oplus a_i$ 的逆操作是 $a_i\leftarrow \oplus_{j=1}^i a_{j}$ 。
• 基向量相加减依然可以作为基向量！