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题面

给定一个无向图，图上每条边 \(x_i,y_i\) 都有两个边权 \(a_i,b_i\) ，现在 A,B 要在上面玩一个游戏。

首先 A 要给每个边确定其真正权值是 \(a_i\) 还是 \(b_i\) ，其中是 \(a_i\) 的边的个数恰好是 \(k\) 。

之后 B 会在其中选一个最小生成树，A 希望选出来的最小生成树权值和最大。

对每一个 \(k\in[0,m]\) 求出答案。

数据范围：\(n\le 9,m\le 30\) 。

题解

因为题目其实是让要我们求所有选法中最小生成树的最大值，所以我们肯定往求最小生成树的算法上考虑。（而不是爆搜！！！！）

肯定是先考虑 kruskal ，按边权从小到大依次考虑 \(x_i,y_i\) 是否联通。

但是我们还是没法处理每个边是选了 \(a_i\) 还是 \(b_i\) （这里默认 \(a_i<b_i\)）。

这里就有一个套路，如果选 \(a_i\) 了后 \(b_i\) 不会带来额外影响，那么我们就可以把边拆成 \((x_i,y_i,a_i)\) 和 \((x_i,y_i,b_i)\) 。

下面把\((x_i,y_i,a_i)\) 看作 \(A\) 边， \((x_i,y_i,b_i)\) 看作 \(B\) 边。

什么意思？

在这里，我们按小到大去考虑每条边，所以 \(A\) 边肯定会比 \(B\) 边先考虑到，那么如果 \(A\) 边被选了，那么之后再碰到 \(B\) 边，它肯定不会对当前的最小生成树产生贡献（因为 \(A,B\) 边有同样的 \(x_i,y_i\) ，所以即使 \(x_i,y_i\) 不连通，那么也是在 \(A\) 边的时候就连上了）。

所以我们的决策就在 \(A\) 边上就行了（考虑选不选 \(A\) 边）。

而怎么分辨这一条边是 \(A\) 边还是 \(B\) 边呢？拆成 \((x_i,y_i,a_i,1)\) 和 \((x_i,y_i,b_i,0)\) 即可。

至于怎么维护点之间的联通情况，状压并查集即可。

所以就有设dp \(f_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 个边，当前选了 \(j\) 个 \(A\) 边， 且并查集状态是 \(k\) ，直接看当前的边转移即可。

复杂度是 \(O(m^2B(9))\) ，\(B(x)\) 是贝尔数。

启发

• 对于要决策是 \(A\) 还是 \(B\) 的时候，如果选了 \(A\) 后选 \(B\) 对答案无影响，那么就可以按上面的方法拆操作。多个决策也同样适用。