P5818 [JSOI2011]同分异构体计数

题面

求 \(n\) 个点的无标号基环树的个数，满足：

• 环的大小在 \(3\sim m\) 之间。
• 每个点的度数 \(\le 4\) 。

数据范围：\(n\le 10^3,m\le 50\) 。

题解

记一下burnside在（基环）树上的用法。

首先注意到因为是基环树，所以可以认为是有根的（就是以环为根）。

设 \(f_i\) 表示大小为 \(i\) 的有根无标号树的方案数。

因为每个点的度数 \(\le 4\)，所以有转移：

\[f_{n+1}=\sum_{i+j+k=n}f_if_jf_k \]

但是！这是无标号的树，也就是 相同大小的子树 之间是没有区别的，所以就需要去重。

怎么去重？burnside！

考虑子树的置换是什么，好像是 \(3\) 的全排列。

那么就考虑会成环的个数：

• \(3\) 个环，方案数只有一种：\((1,2,3)\) 。

转移就是 \(f_{n+1}\leftarrow\sum_{i+j+k=n}f_if_jf_k\) 。

• \(2\) 个环，方案数有三种：\((1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\) 。

那么我们就认为其中的两个子树要一样，那么转移就是 \(f_{n+1}\leftarrow3\sum_{2i+j=n}f_if_j\)

• \(1\) 个环，方案数有两种：\((2,3,1),(3,1,2)\)。

那么我们就认为三个子树都要一样，那么转移就是 \(f_{n+1}\leftarrow 2f_{\frac{3}{n}}\) 。

直接做是 \(n^3\) 的，但我们可以计 \(g_i=\sum_{i+j=n}f_if_j\) ，然后就可以做到 \(n^2\) （其实就是把原本的 \(f_{3,n}\) 化成了 \(f_n\) 和 \(g_n\)）

现在挂在环周围的有根树可以做了，但是环上的我们还不会。

同样的，直接设 \(g_{i,j}\) 为 \(i\) 个环上点和 \(j\) 个环外点然后转移也是会重的，这时候我们就考虑一下有几种置换：

• 旋转环，对应了：\((1+x,2+x,...,(n-1+x)\bmod n+1)\) 。

这个就比较常规了，直接用 \(\gcd\) 相关的解决就行。

• 对称环。

  • 环长是奇数，此时就有一个对称点是自己对称自己，其余的都两两对应了。

    那么答案就是 \(m\sum_{i+i\le n}g_{\frac{m-1}{2},i}\cdot f_{n-i-i}\) 。

  • 环长是偶数，那么就有 \(\frac{m}{2}\) 次是两个点自己对称自己，\(\frac{m}{2}\) 次是全部两两对应。

    同样可以得到答案。

启发

• burnside在树上和环上的用法。