AGC038E

题面

有一个随机数生成器，生成 \([0,n-1]\) 之间的整数，其中生成 \(i\) 的概率为 \(\frac{A_i}{S}\)，其中，\(S=\sum A_i\)。

这个随机数生成器不断生成随机数，当 \(\forall i\in[0,n-1]\)，\(i\) 至少出现了 \(B_i\) 次时，停止生成，否则继续生成。

求期望生成随机数的次数，输出答案对 \(998244353\) 取模的结果。

数据范围：\(A_i,B_i\geq 1\)，\(\sum A_i,\sum B_i,n\leq 400\)。

题解

第一次做 \(\min-\max\) 容斥题....

要知道 \(\min-\max\) 容斥到底在干什么。

我们记 \(a_i\) 表示第 \(i\) 个条件满足的时间，那么这里就是要求 \(E(\max_{i=1}^n(a_i))\) 。

然后已知：\(E(\max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))\) ，那么我们就可以转换成求 对于每一个子集 \(T\) ，求存在一个元素满足条件的期望步数。

但是这里 \(n\) 很大啊，是不是没法做了？

其实没有关系，因为我们可以通过dp转移！

所以现在还是要老老实实推对于一个子集 \(T\) 的答案是什么。

这里我们终于可以枚举步数了，因为这很明显是有限的。

考虑对于 \(T\) 来说，\(E(\min(T))=\sum_\limits{i=1}^{\sum B_i}f(i)\) ，其中 \(f(i)\) 的含义就是 \(i\) 次之后 \(T\) 中还是没有一个元素满足的概率。

注意，这个式子是不对的，因为我们无法保证每次都能选到 \(T\) 中的元素，所以还要答案还要乘上 \(\frac{S}{\sum A_i}\) ，\(S\) 就是全部的 \(A_i\) 和。

考虑 \(f(x)\) 怎么求？

\[\begin{aligned} f(x)=&\sum_{\sum c_i=x,0<c_i< b_i}\prod_i\left(\frac{A_i}{\sum A_j}\right)^{c_i}\frac{x!}{\prod_i c_i!}\\ =&\left(\sum A_j\right)^{-x}x!\sum_{\sum c_i=x}\prod_i\frac{(A_i)^{^{c_i}}}{c_i!} \end{aligned} \]

发现转换成这样之后我们就可以dp求了！

设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 个元素时，\(\sum A_i=j,\sum c_i=k\) 的容斥权值和（带上了 \((-1)^{|T|+1}\) 的系数）

转移的时候我们就枚举这个元素选不选，选的话 \(c_i\) 为几。可以列转移式：

\[f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}-\sum_{p=0}^{b_i-1} f_{i-1,j-a_i,k-p}\times (A_i)^{p}p! \]

为什么中间是 \(-\) ？

因为根据容斥，没选一个新的，对应的 \(|T|\) 加 \(1\) ，那么 \((-1)^{|T|+1}\) 就会变号。

还有！初值 \(f_{0,0,0}=-1\) ！因为 \((-1)^{|\varnothing|+1}=-1\) 。

但是这个dp是不是 \(O(n^4)\) 的？其实不是，因为 \(\sum b_i=400\) ，所以其实是 \(O(n^3)\) 的。

启发

• "对于多个元素要满足条件，求所有元素都满足的期望 " 这种问题要考虑 \(\min-\max\) 容斥转换成可以在有限步数内枚举的 "任意一个元素满足" 问题！
• 即使容斥时元素个数很多，也是可以用 dp 得到所有权值和的。
• 容斥时 dp 的初值需要注意。