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题面

给一个长度为 \(n\) 的括号串 \(S\)，A 和 B 要在上面玩游戏。

每轮 A 先在 \(S\) 中选一个 () 的子序列 删掉，然后 \(B\) 也选一个删掉，如果 A 或 B 无法选择，那么就结束，并且该轮不计入总轮数。

A 希望总轮数最多，B 希望总轮数最少，求最终会进行多少轮。

数据范围：\(n\le 2\times 10^5\) 。

题解

首先分析一下 B 的决策，容易发现 B 每次一定会选择最前的(和最后的) 。

然后考虑 A ，可是我们并不好分析 A 的策略，因为如果(选太前了，那么后面可能就没得选了，而选太后了前面的(又会被 B 选完，但我们可以发现，设最终答案为 \(ans\) ，那么 A,B 肯定会选择了前 \(2ans\) 个( 和后 \(2ans\) 个 ) ，

这个时候，我们就可以考虑二分答案 \(mid\)，然后把序列中前 \(2mid\) 个 (和后 \(2mid\) 个)扣下来组成一个新的串 \(S'\)，然后再对 \(S'\) 考虑能否被 A,B取完。

这时候我们发现因为只有 \(2mid\) 对括号串，所以在 A,B 取的时候，括号串 \(S'\) 必须保持合法 ，所以对于 B 取的首尾括号必须是匹配的。

那么对于 A 来说，因为他能取的括号串是灵活的，所以我们这个时候就是想让 B 能够操作的次数最多。

所以若当前 \(S'\) 形式是 (A)，那么我们就可以把当前的首尾留给 B，并且让 B 能够操作的次数 \(+1\)。

否则若当前 \(S'\) 形式是 (A)(B)(C)..(D)，那么这个时候就必须让 A 疯狂操作，让整个序列只剩成 (A/B/C/D)的形式。

能够取完 当且仅当 取的时候时刻保持 B 能够操作的次数 \(\ge\) A 要操作的次数。

所以就可以用搜索（应该是的），设 \(f(S)\) 表示 B 能够操作的次数 \(-\) A 要操作的次数，根据当前 \(S'\) 形式来转移。

做一次的复杂度是 \(O(n)\) ，所以整个复杂度就是 \(O(n\log n)\) 。

启发

• 在不知道怎么决策的时候可以用二分！
• 在 A 只能操作什么，B 能任意操作的时候，可以考虑记 A 能够操作的次数 和 B 要操作的次数。